Algèbre 1

I. Ensembles quotients

− Partitions, fibres et relations d’équivalences, passage au quotient
− Sections, axiome du choix et représentants
− Lemme de Zorn

II. Généralités sur les groupes

− Exemples de groupes
− Morphismes et isomorphismes
− Groupes cycliques
− Théorème de Lagrange
− Groupe multiplicatif d’un corps et (Z/nZ)^*
− Groupes quotients
− Compléments : Groupes usuels, quaternions de Hamilton

III. Groupes abéliens de type fini

− Caractères et y^2=x^3+1 sur Z/pZ
− Décomposition de Fourier finie
− Structure des groupes abéliens finis
− Réseaux et groupes de type finis
− Complément : Courbes elliptiques

IV. Le groupe symétrique et son dévissage

− Actions de groupes
− Groupes symétriques et alternés, les cas n ≤ 5
− Le langage des suites exactes
− Le dévissage de S_n
− Produits semi–directs
− Compléments : Groupe de Galois d’un polynôme, petits groupes, le théorème de Jordan–Hölder

V. Groupes et symétries

− Sous–groupes finis de O(2) et SO(3)
− Quaternions et géométrie euclidienne en dimensions 3 et 4
− Groupes linéaires et simplicité de PSL_n(k)
− Le groupe PGL_2(k) et quelques (iso)morphismes miraculeux
− Compléments : Polytopes réguliers, le groupe affine et un théorème de Galois, frises et
papiers peints

VI. Éléments de structure des groupes finis

− p–groupes
− Théorèmes de Sylow
− Théorème de Schur–Zassenhaus, théorème de Hall
− Extensions et cohomologie
− Compléments : Groupes nilpotents finis

VII. Arithmétique des anneaux

− Anneaux Z[√d]− Anneaux factoriels, idéaux et anneaux principaux
− L’anneau Z[i] et sommes de deux carrés
− Une équation diophantienne
− Complément : Anneaux quotients

VIII. Modules sur les anneaux principaux

− Modules sur un anneau
− Équivalence des matrices sur un anneau principal
− Modules de type fini sur un anneau principal

IX. Représentations linéaires des groupes finis

− Représentations et modules sur l’algèbre du groupe
− Décomposition en irréductibles
− Théorie des caractères, exemples de tables de caractères
− Retour sur le déterminant d’un groupe
− Propriétés d’intégralité des caractères
− Compléments : Des théorèmes de Burnside et P. Hall, décomposition de L^2(G)