Fonctions harmoniques et bords de marches aléatoires

Au sujet de ce cours

SEMESTRE 2

Diverses familles de fonctions harmoniques reflètent la géométrie asymptotique des graphes. Il existe différents concepts de bord d’espaces métriques infinis et des graphes, en particulier pour des graphes de Cayley de groupes. Le bord de Martin est un espace topologique qui fournit la description des fonctions harmoniques positives. Par le théorème de convergence des martingales, de telles fonctions convergent le long de trajectoires infinies unilatérales de la marche aléatoire sur un graphe. Si nous supposons que les fonctions sont bornées, elles peuvent être récupérées à partir de ces valeurs limites, ce qui conduit à l’une des définitions du bord de Poisson. Il s’agit d’un espace de probabilité, qui est essentiel pour comprendre le comportement asymptotique des marches aléatoires sur les graphes et les groupes.

D’autres classes de fonctions étudiées récemment incluent les fonctions harmoniques Lipshitziennes, qui apparaît dans la preuve de Kleiner du théorème de croissance polynomiale. Dans ce cours, nous étudions les fonctions harmoniques et différentes notions de bords pour les marches aléatoires sur les graphes, en nous concentrant sur le cas où les graphes sont transitifs et les opérateurs sont homogènes. Cette dernière classe comprend les marches aléatoires sur des groupes.

Nous étudierons des résultats fondamentaux du à Doob, Furstenberg, Azencott, Cartier, Margulis, Guivarch, Kaimanovich, Vershik et Derriennic, et à la fin du cours nous prévoyons de discuter quelques résultats très récents dans ce domaine.

Aucun prérequis spécifique en probabilité n’est requis.

Créneaux

Lundi 13h30-15h30 et mercredi 15h15-17h15 en salle W, à partir du 26 février.