Analyse des EDP non linéaires issues de la géométrie : des applications harmoniques à la théorie de Yang-Mills

Au sujet de ce cours

SEMESTRE 2

Le but de ce cours est de donner une introduction à deux problématiques de l’analyse géométrique moderne. Plus précisément on s’intéressera aux applications harmoniques de surfaces à valeurs dans une variété compacte et aux connections Yang-Mills sur les fibrés des $4$-variétés. Ces deux problèmes possèdent une invariance conforme qui rend l’étude analytique des solutions assez délicates mais qui, en contrepartie, fournie des espaces de modules contenant beaucoup d’informations géométrique.

On commencera par étudier les problèmes invariants conformes en dimension 2 via l’approche générale de Rivière [2]. Ensuite nous verrons notamment comment les applications harmoniques permettent d’étudier l’espace de Teichmüller [3]. Enfin, nous étudierons les travaux d’Uhlenbeck sur l’équation de Yang-Mills et j’expliquerai comment ces résultats analytiques sont au cœur de la preuve du théorème de Donaldson sur la topologie de $4$-variétés lisses [1].

Prérequis : EDP elliptiques, géométrie différentielle (si possible Riemannienne).

Références bibliographiques :

1. Daniel S. Freed and Karen K. Uhlenbeck. Instantons and four-manifolds, volume 1 of Mathematical Sciences Research
Institute Publications. Springer-Verlag, New York, second edition, 1991.

2. Tristan Riviere. Conformally invariant variational problems. 2012.

3. Anthony J. Tromba. Teichm ̈uller theory in Riemannian geometry. Lectures in Mathematics ETH Zürich. Birkhäuser
Verlag, Basel, 1992. Lecture notes prepared by Jochen Denzler.

Créneaux : Mardi 13h30-15h30; Jeudi 9h30-11h30