Analyse fonctionnelle

Dans ce cours, on étudiera les bases de l’analyse fonctionnelle abstraite et les principaux espaces de fonctions utiles dans l’étude des équations aux dérivées partielles.

Le cours commencera par l’analyse abstraite des espaces vectoriels topologiques (localement convexes) et de leurs topologies classiques, avec une attention particulière pour les topologies faibles sur les espaces de Banach. Nous verrons les théorèmes classiques d’analyse linéaire (Hahn-Banach, Banach-Alaoglu…), quelques sous-cadres classiques (espaces réflexifs, espaces uniformément convexes), ainsi que la topologie des espaces de mesures et des applications en probabilités.

Nous aborderons ensuite la théorie des distributions, ainsi que la transformée de Fourier, qui sera illustrée par des applications aux EDP et en traitement du signal.

Enfin, nous aborderons les espaces de Sobolev, leurs propriétés (injections de Sobolev notamment), et leur utilisation pour l’étude d’EDP elliptiques.

Si le temps le permet, on consacrera les dernières heures de cours à la dualité convexe.