Analyse fonctionnelle

Dans ce cours, qui comportera deux parties principales, on étudiera les bases de l’analyse fonctionnelle abstraite et les principaux espaces de fonctions utiles dans l’étude des équations aux dérivées partielles.

Le cours commencera par l’analyse abstraite des espaces vectoriels topologiques (localement convexes) et de leurs topologies classiques (dont les topologies « faibles »), avec une attention particulière portée, à l’issue de cette première partie, aux espaces lisses et uniformément convexes (dont relèvent les espaces de Lebesgue non « extrêmes »). Cette partie sera l’occasion d’aborder des résultats classiques importants d’analyse linéaire (théorèmes de Hahn-Banach, de Banach-Alaoglu, de Krein-Milman etc.).

La théorie des distributions de L. Schwartz sera ensuite introduite de façon « topologique » à l’aide des concepts et résultats développés dans la première partie du cours. Quelques résultats fondamentaux sur les distributions seront obtenus (théorème de régularisation, théorème de constance, principe de Banach-Steinhaus).

Pour finir, nous parlerons d’espaces de Sobolev, des théorèmes d’injection classiques (de Sobolev et de Rellich-Kondrachov) qui y sont valides et de leurs applications à des problèmes elliptiques.

Si le temps le permet, on consacrera les dernières heures de cours aux fonctions à variation bornée.