Analyse fonctionnelle

Dans ce cours, nous allons donner une introduction à l’analyse fonctionnelle au sens large, en développant la théorie des espaces vectoriels topologiques, des distributions et des opérateurs, et en illustrant les notions par de nombreux exemples ainsi que par quelques applications à l’analyse, aux équations aux dérivées partielles et à la théorie des groupes. Le cours sera composé de trois parties :
1) Espaces vectoriels topologiques : convexité, théorèmes de Hahn–Banach, complétude, espaces de Fréchet et de Banach, dualité, topologies faibles et réflexivité, avec des applications telles que le théorème de point fixe de Ryll-Nardzewski et l’existence de la mesure de Haar sur les groupes compacts.
2) Distributions : dérivation, convolution et régularisation, distributions tempérées, espace de Schwartz et transformée de Fourier, espaces de Sobolev, solutions fondamentales et régularité elliptique.
3) Théorie spectrale : opérateurs bornés sur un espace de Hilbert, spectre et résolvante, formule du rayon spectral, opérateurs compacts, calcul fonctionnel et théorèmes spectraux, classes de Schatten.

Des notes de cours en anglais seront disponibles sur la page web de l’enseignant.

Bibliographie :
– N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques. Chapitres 1 à 5. Eléments de mathématique. New edition. Masson, Paris, 1981. vii+368 pp.
– H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011. xiv+599 pp.
– J.B. Conway, A course in functional analysis. Second edition. Grad. Texts in Math. 96. Springer-Verlag, New York, 1990. xvi+399 pp
– G.K. Pedersen, Analysis now. Grad. Texts in Math. 118. Springer-Verlag, New York, 1989. xiv+277 pp.
– W. Rudin, Real and complex analysis. Third edition. McGraw-Hill Book Co., New York, 1987. xiv+416 pp.
– W. Rudin, Functional analysis. Second edition. Internat. Ser. Pure Appl. Math. McGraw-Hill, Inc., New York, 1991. xviii+424 pp.