Cours spécifique à la filière Maths-Physique: Grande dimension
Au sujet de ce cours
Enseignants: Djalil Chafaï, Giulio Biroli
Ce cours est centré autour de phénomènes de grande dimension de nature probabiliste. Il s’agit au départ du comportement des vecteurs, matrices, et tenseurs aléatoires en grande dimension, à commencer par les théorèmes limites pour les variables indépendantes. Les notions théoriques et les méthodes introduites seront illustrées à l’aide d’exemples issus de la physique statistique, des sciences des données et de l’apprentissage automatique (machine learning).
Ce cours est donné à la fois par un physicien théoricien (Giulio Biroli) et par un mathématicien probabiliste (Djalil Chafaï). La dernière séance est donnée par Jean-Philippe Bouchaud, physicien théoricien et membre de l’Académie des sciences. Prérequis : intégration et probabilités, physique statistique.
Plan du cours :
− Loi des grands nombres, théorème de la limite centrale, Monte-Carlo
− Phénomène de concentration de la mesure
− Principe de grandes déviations de Cramér
− Principe de grandes déviations de Sanov
− Phénomène d’universalité des sommes et lois stables
− Phénomène d’universalité des extrêmes et lois max-stables
− Matrices aléatoires : théorème de Wigner
− Matrices aléatoires : théorème de Marchenko-Pastur
− Limite thermodynamique et transitions de phase
− Des équations déterministes de Newton à l’équation stochastique de Langevin
− Equilibration et thermalisation en physique statistique
− Transition BBP des matrices aléatoires : un exemple de transition de phase en science des données
− La malédiction de la grande dimension en apprentissage automatique (machine learning)
− La bénédiction de la grande dimension en apprentissage automatique
− Exposé de mise en perspective : Grandeur et misère des théorèmes en modélisation (pas de TD cette semaine