Géométrie différentielle

Variétés différentielles

Définitions, applications différentiables entre variétés, sous-variétés, produits et revêtements de variétés, fibré tangent, application tangente. Exemples : sphères, tores, espaces projectifs, grassmanniennes. Théorème de Whitney. Immersions, submersions, fibrations, théorème de Sard. Champs de vecteurs, flots, commutation des flots, crochet.

Introduction aux groupes et algèbres de Lie. Espaces homogènes

Formes différentielles

Définitions, produit extérieur, dérivation extérieure. Cohomologie de de Rham. Intégration des formes différentielles, théorème de Stokes.

Topologie différentielle

Théorie du degré, indice de champs de vecteurs.

Surfaces

Seconde forme fondamentale. Courbure de Gauss. Theorema egregium. Théorème de Gauss-Bonnet.

Bibliographie

J. Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, Press. Univ. Grenoble, 1996.
J. Lee, Introduction to smooth manifolds, 2nd edition, Graduate Text in Mathematics 214, Springer, 2013. Accès électronique depuis l’ENS
J. W. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, Univ. Press Virginia, 1965.
M. Spivak, Differential geometry, Publish or Perish, 1979.