GL : Opérateurs aléatoires de Schrödinger

L’objet de ce groupe de lecture est d’introduire la théorie des opérateurs de
Schrödinger aléatoires. Ces opérateurs décrivent l’évolution d’un électron
dans un cristal avec des impuretés modélisées par un potentiel aléatoire. Dans
un cristal pur, l’électron se propage et sa dynamique est dictée par le
laplacien. Anderson a montré dans les années 50 que la présence – même faible
– d’impuretés aléatoirement distribuées bloquait l’électron dans une petite
région de l’espace. Ce phénomène est depuis appelé « localisation d’Anderson »
et forme un domaine très actif de recherche à la fois en physique
et en mathématiques, même si d’importantes conjectures sont encore loin
d’être résolues.

Nous verrons dans ce groupe de lecture diverses techniques à l’interface des
probabilités, de l’analyse fonctionnelle et de la théorie spectrale pour
comprendre les questions de ce domaine et donner une preuve de la localisation
d’Anderson.

Nous suivrons principalement les notes de cours très pédagogiques de Werner
Kirsch, « An Invitation to Random Schrödinger operators », disponibles en
ligne. Une autre preuve de la localisation pourra éventuellement être étudiée
en suivant les notes de cours du M2 de Giambattista Giacomin.

Référence : Werner Kirsch, « An Invitation to Random Schrödinger operators, Panoramas et Synthèses 25, 2008, p. 1–119, https://arxiv.org/abs/0709.3707