GL : Spectre de graphes aléatoires

L’objet de ce groupe de lecture est d’introduire les graphes aléatoires et l’étude de leur spectre. Ce domaine de recherche est relié à plusieurs branches des probabilités, comme les matrices aléatoires, les arbres aléatoires, la percolation sur Z^d ou les opérateurs de Schrödinger aléatoires.

Nous définirons la notion de spectre et de mesure spectrale pour des graphes tout d’abord finis puis plus généralement localement finis. Nous examinerons de nombreux exemples célèbres. Une question fondamentale dans ce domaine concerne les propriétés de ces mesures spectrales, et en particulier s’il existe une partie continue pour ces mesures. Nous verrons quelques outils techniques qui permettent de montrer cette existence.

Ce groupe de lecture permettra également d’appliquer au cas des graphes aléatoires plusieurs notions abordées lors des cours de première année : topologie sur les graphes, convergence de mesures, graphes de Cayley pour les groupes, théorie spectrale…

Nous suivrons principalement les notes de cours très claires de Charles Bordenave (référence ci-dessous). Nous compléterons éventuellement cette lecture avec quelques articles de recherche sur le sujet.

Référence

Spectrum of random graphs, Charles Bordenave, Advanced topics in random matrices, 91–150, Panor. Synthèses, 53, Soc. Math. France, Paris, 2017

Disponible sur http://www.i2m.univ-amu.fr/perso/charles.bordenave/_media/courssrg.pdf