GL : Des équations différentielles à la géométrie, la correspondance de Riemann-Hilbert

Le but de ce groupe de lecture sera d’appréhender les outils nécessaires à la compréhension de la correspondance de Riemann-Hilbert sur la sphère de Riemann P^1(C), qui énonce une équivalence entre une classe d’équations différentielles linéaires homogènes à coefficients dans C(z) et les représentations du groupe fondamental de P^1 privé des points singuliers de l’équation.

Notre première étape sera la correspondance de Riemann-Hilbert locale, qui traite le cas autour d’une singularité. On ira ensuite vers une compréhension de la correspondance globale, le tout en suivant essentiellement le livre de Jacques Sauloy. Si on a le temps, on détaillera particulièrement le cas de l’équation hypergéométrique et on s’intéressera à la géométrie cachée derrière certaines équations différentielles.

Sur le chemin, on sera rencontrera et étudiera des objets d’analyse complexe, de topologie algébrique et de géométrie analytique et algébrique.

Référence

Differential Galois Theory through Riemann-Hilbert Correspondance – An elementary introduction, de Jacques Sauloy.