GT : Formules d’inversion, polytopes et quelques structures algébriques.

Le but de ce groupe de travail est de comprendre quelques résultats de l’article « Hopf monoids and generalized permutahedra » de M. Aguiar et F. Ardila. Ce sont des résultats au croisement de la combinatoire des polytopes et des structures algébriques.

Plus précisement, d’un côté, on dispose d’une large classe de polytopes, à savoir les permutoèdres généralisés, ceux-ci sont obtenus en déformant le permutoèdre qui est un polytope explicite. D’un autre côté, on peut considérer certaines catégories et structures algébriques dans ces catégories, à savoir les algèbres de Hopf, que l’on peut comprendre en premier instance comme un généralisation des groupes. En tant que tel, on peut considérer le groupe des caractères d’une telle algèbres et ceux-ci forment un groupe. La construction d’Aguiar et Ardila consiste ensuite à construire une telle algèbre de Hopf à partir de la famille de polytopes précédemment considérée puis à en identifier le groupe des caractères. En considérant certaines sous-familles des permutoèdres généralisés on obtient certaines sous algèbres avec de nouveaux groupes de caractères.

Lorsqu’on considère la famille de tous les permutoèdres généralisés, le groupe des caractères que l’on obtient s’identifie au groupe des séries exponentielles $\sum_i a_i \frac{t^i}{i!}$ avec la multiplication, et il sort de la combinatoire une formule explicite pour l’inverse de cette série. Similairement, si on considère la famille des associaèdres généralisés, le groupe de caractères que l’on obtient s’identifie au groupe des série formelles de la forme $t + \sum_{i > 1}a_i t^i$ équipé de la composition, et la machinerie produit aussi une formule pour l’inverse pour la composition des séries.

L’article considère plusieurs autres familles de polytopes, nous nous concentrerons en premier sur les deux familles mentionnées précédemment et la construction principale de ces algèbres de Hopf pour obtenir les formules promises. Si le temps le permet, on pourra étudier d’autres familles de polytopes et les invariants correspondants.