GT : Domaines d’holomorphie et variétés de Stein

Soit O un ouvert de C^n. Une fonction f de O dans C est dite holomorphe si elle est holomorphe séparément en chacune des variables ou bien, de manière équivalente, si elle est localement développable en série entière. Bien que la théorie locale des fonctions holomorphes en plusieurs variables soit entièrement similaire au cas d’une seule variable, la dimension supérieure fait apparaître des différences essentielles. Par exemple, si n>1, toute fonction holomorphe sur C^n privé de la boule unité fermée s’étend automatiquement en une fonction holomorphe sur C^n tout entier. Autrement dit, cet ouvert n’est jamais le domaine de définition naturel (en un sens à rendre précis) d’une fonction holomorphe. C’est le phénomène de Hartogs.

Les ouverts de C^n qui peuvent être réalisés comme domaine de définition naturel d’une fonction holomorphe s’appellent domaines d’holomorphie. Plus généralement, on appelle variété de Stein une variété complexe qui est le domaine de définition naturel d’une fonction holomorphe.

L’objectif de ce groupe de travail est de définir rigoureusement domaines d’holomorphie et variétés de Stein, d’en donner des exemples significatifs, d’étudier leur propriétés (analytiques, topologiques…), et d’en présenter des applications. On expliquera notamment une solution du problème de Levi, qui caractérise domaines d’holomorphie et variétés de Stein par une propriété de convexité.

Prérequis : Analyse complexe ; avoir suivi les cours d’analyse fonctionnelle, de géométrie différentielle et/ou de topologie algébrique pourra être utile sans être nécessaire.

Bibliographie

• L. Hörmander, An introduction to complex analysis in several variables, North-Holland Publishing Co. (1990).
• R. Gunning and H. Rossi, Analytic functions of several variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI (2009).