GT : Introduction à la géométrie sous-riemannienne

Dans une variété riemannienne, toutes les directions de l’espace sont accessibles. Il est possible de se déplacer en un temps fini le long de n’importe quelle courbe et de calculer le produit scalaire entre deux vecteurs quelconques dans chaque espace tangent. Cela rend les variétés riemanniennes similaires aux espaces euclidiens, ces derniers offrant d’excellentes approximations locales. Dans une variété sous-riemannienne cependant, il est seulement possible de mesurer des distances le long de certaines directions, ce qui nous oblige à ne considérer que des courbes particulières, dites horizontales. En conséquence, la géométrie sous-riemanniennes présente un certain nombre de phénomènes absents dans la géométrie riemannienne. Par exemple, les fronts d’onde des variétés sous-riemanniennes ne sont pas compacts et les géodésiques peuvent perdre leur optimalité en un temps arbitrairement petit, il peut exister des courbes anormales qui sont des courbes minimisantes pour n’importe quelle métrique possible. Enfin, la meilleure approximation locale d’une variété sous-riemannienne est un n’est plus un espace euclidien, mais un groupe de Lie nilpotent.

Ce groupe de travail se proposera de donner une introduction à la géométrie sous-riemannienne et, si le temps le permet, d’étudier le noyau de la chaleur dans une telle géométrie.

Référence

A comprehensive introduction to sub-Riemannian geometry. From the Hamiltonian viewpoint, par Andrei Agrachev, Davide Barilari, et Ugo Boscain