GT : Matrices Aléatoires

Les premières matrices aléatoires apparaissent dans les années 30 dans les travaux de Wishart, un statisticien s’intéressant à des tableaux de corrélations de données aléatoires. Plus tard, et de manière indépendante, Wigner introduit des modèles de matrices dans l’optique de décrire les niveaux d’énergie de noyaux excités. Les matrices aléatoires se sont depuis largement diffusées, mentionnons la théorie des nombres, la mécanique statistique, les graphes aléatoires, et, plus généralement, la Physique, l’Informatique…

Dans ce groupe de travail, nous suivrons un ouvrage de référence du sujet : An Introduction to Random Matrices de Greg Anderson, Alice Guionnet et Ofer Zeitouni. Nous parlerons des grands résultats du domaine, en nous concentrant sur le comportement des valeurs propres. Il est à noter que les vecteurs propres sont aussi très largement étudiés et donnent lieu à des conjectures fameuses comme le phénomène de localisation d’Anderson.

Pour de larges classes de matrices aléatoires, dites de Wigner, le comportement macroscopique du spectre est bien compris. En grande dimension, les valeurs propres se répartissent asymptotiquement selon une mesure de probabilité à support compact appelée loi du demi-cercle. Le comportement microscopique nécessite une analyse fine et il est plus commode de la réaliser pour des modèles avec de fortes propriétés de symétrie (GOE, GUE). En effet, la loi jointe des valeurs propres est bien connue dans ce cas et cela facilite grandement la tâche.  Il est attendu que ces résultats microscopiques soient universels ; c’est d’ailleurs une question qui occupe de nombreux probabilistes.

Finalement, étudier les matrices aléatoires est aussi l’occasion d’aborder des thématiques connexes, comme les phénomènes de concentrations et les grandes déviations, les polynômes orthogonaux et les transformées de Stietljes, les processus déterminantaux voire même (est-ce vraiment une bonne idée ?) les probabilités libres.
Cela nous laisse un peu de choix pour combler les envies de chacun !

Référence

An Introduction to Random Matrices, Greg Anderson, Alice Guionnet et Ofer Zeitouni, Cambridge University Press.