GT : Le modèle d’Ising

Le modèle d’Ising est un modèle probabiliste issu de la physique statistique décrivant l’interaction de spins disposés aux sommets d’un graphe, le plus souvent Z^d. Proposé en 1925 par Lenz et étudié par Ising dans sa thèse dans le cas de la dimension 1, ce modèle a suscité un intérêt toujours renouvelé dans les communautés des mathématiques et de la physique statistique, notamment car il permet d’étudier le phénomène de transition de phase (à partir de la dimension 2) et présente des comportements différents et riches selon les valeurs des paramètres (critique, sous-critique, sur-critique) qui sont encore pour beaucoup des problèmes ouverts. Citons par exemple la détermination des exposants critiques, les résultats d’universalité, le calcul des probabilités de croisement.

Dans ce groupe de travail, nous proposons une introduction détaillée au modèle d’Ising en suivant dans un premier temps les notes de cours de Y. Velenik « Le modèle d’Ising » (disponibles en ligne). Nous introduirons les outils mathématiques communs aux autres modèles discrets de la physique statistique, notamment les mesures de Gibbs finies et infinies, le formalisme des fonctions de partition, l’énergie libre. Cela nous permettra d’étudier le phénomène de transition de phase. Selon le temps restant et les goûts, nous pourrons (en utilisant le livre de S. Friedli et Y. Velenik « Statistical mechanics of lattice systems ») étudier les liens avec d’autres modèles (la percolation, le modèle de dimère), ou rentrer dans les détails de l’étude en dimension 1 et 2 et essayer de comprendre pourquoi on parle de modèle « exactly solvable ». On pourra aussi s’intéresser à la littérature de la communauté physicienne sur le sujet en étudiant quelques chapitres du livre de R. Baxter « Exactly solved models in statistical mechanics ».

Prérequis : intégration et probabilités.

Il est conseillé de suivre en parallèle le cours de processus stochastiques.