GT : Limites locales de cartes planaires et empilement de cercles

Les modèles de triangulations planaires infinis sont des modèles de graphes aléatoires infinis plongés dans le plan dont toutes les faces sont des triangles. Ils apparaissent comme limite en loi de certains modèles naturels de graphes aléatoires finis lorsque l’on munit l’ensemble des graphes localement finis d’une topologie adéquate (dite topologie de la convergence locale). Un théorème de He et Schramm montre qu’il existe une façon naturelle de plonger ces graphes soit sur la sphère de Riemann soit sur le plan hyperbolique en les voyant comme graphe d’intersection d’un empilement de cercles. Ces plongements sont uniques à réflexions et automorphismes conformes près.

De façon remarquable, certaines caractéristiques géométriques de ce plongement sont reliées à des informations probabilistes sur notre modèle aléatoire. Par exemple, on peut relier le nombre de points d’accumulations de l’empilement au caractère récurent/transient d’une marche aléatoire sur le graphe. Dans un premier temps l’objectif de ce GT va être de définir la topologie de la convergence locale et d’introduire rigoureusement certains modèles de cartes planaires aléatoires infinies. Nous nous pencherons dans un second temps sur le lien avec la théorie des empilements de cercles.

Référence

Notes de lectures de Asaf Nachmias : « Planar Maps, Random Walks and Circle Packing » de l’école d’été de Saint-Flour 2018.