GT : Représentations l-adiques et la fonction tau de Ramanujan

Notons tau(n) le coefficient en q^n de la série formelle

f = q produit_{m>0}(1-q^m)^24 = q – 24 q^2 + 252 q^3 – 1472 q^4 + 4830 q^5 – 6048 q^6 + …

Ramanujan avait conjecturé en 1916 les identités suivantes, dans lesquelles m et n sont des entiers, et p est un nombre premier, arbitraires :

(i) tau(mn) = tau(m) tau(n) si m et n sont premiers entre eux,

(ii) tau(p^{n+1}) = tau(p) tau(p^n)- p^{11} tau(p^{n-1}),

(iii) |tau(p)|^2 < 4 p^{11}.

Ramanujan y prouve aussi la congruence tau(p) = 1 + p^{11} modulo 691, pour tout premier p. Les propriétés (i) et (ii) ont été rapidement démontrées par Mordell, et la dernière, longtemps désignée comme « la conjecture de Ramanujan », ne l’a été que beaucoup plus tard par Deligne, comme conséquence de sa résolution des conjectures de Weil en géométrie algébrique.

Une propriété clé satisfaite par tau est que la série f est le q-développement d’une forme modulaire pour le groupe SL_2(Z). Le premier but de ce groupe de travail sera d’introduire ces objets, et d’en déduire (i) et (ii). Dans une seconde partie, mélange de théorie algébrique des nombres et de théorie de Galois, nous introduirons les représentations Galoisiennes dites « d’Artin ». Enfin, nous introduirons les nombres p-adiques et les représentations Galoisiennes associées à f, et nous essaierons de comprendre les congruences portant sur tau de ce point de vue, suivant Serre 1967-1968 et Swinnerton-Dyer 1973.

Prérequis : Algèbre 1, analyse complexe, algèbre 2 (idéalement, l’avoir suivi en première année, ou sinon, le suivre en seconde année et accepter de prendre éventuellement un peu d’avance sur certaines parties du cours).

Bibliographie

• S. Ramanujan, On certain arithmetical functions, Trans. Cambridge Philos. Soc. 22 (1916).
• K. Ireland & M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, Springer GTM 84 (1992).
• L. J. Mordell, On Mr. Ramanujan’s empirical expansions of modular functions, Proc. Camb. Philos. Soc. 19 (1917).
• J. P. Serre, Une interprétation des congruences relatives à la fonction tau de Ramanujan, Séminaire Delange-Pisot-Poitou 9 (1967-1968).
• J. P. Serre, Cours d’arithmétique, P. U. F.(1970).
• H. P. F. Swinnerton-Dyer, On l-adic representations and congruences for coefficients of modular forms, in the Antwerp conference Modular fonctions of One variable III, Springer lecture notes 350 (1973)
• P. Deligne, Formes modulaires et représentations l-adiques, séminaire Bourbaki (1968).