GT : Théorie algébrique des équations différentielles en caractéristiques nulle et positive
Au sujet de ce cours
La théorie des équations différentielles linéaires à coefficients polynomiaux sur C se ramène souvent à l’étude de solutions dans des anneaux de séries entières et à des considérations de géométrie analytique complexe et de topologie. On peut vouloir étudier des propriétés arithmétiques des solutions d’équations différentielles à coefficients dans Q ou sa clôture algébrique, et il est pour cela utile d’étudier les équations différentielles en caractéristique positive.
En caractéristique p > 0, xp a une dérivée nulle et l’espace des solutions d’une équation différentielle à coefficients dans Fp(x) est donc un Fp(xp)-espace vectoriel. Un nouvel objet qui contrôle les solutions apparaît : la p-courbure d’une équation différentielle, qui est un opérateur linéaire.
Le but de ce groupe de travail sera tout d’abord d’introduire les participant.e.s à la théorie algébrique des équations différentielles en caractéristique 0, puis en caractéristique positive p. On démontrera le théorème de Katz-Honda, qui est une forme de principe local-global pour les équations différentielles, et on parlera selon le temps disponible et l’envie des participant.e.s de fonctions G et/ou d’équations différentielles p-adiques. On suivra principalement les livres de Singer–Van der Put et celui de Dwork–Gerotto–Sullivan, et éventuellement celui de Kedlaya, en complémentant d’articles et de notes au besoin.
Prérequis : Algèbre 1, Analyse complexe. Algèbre 2 doit être suivi en même temps ou avoir été suivi en première année. Il sera utile mais pas obligatoire d’avoir suivi Géométrie différentielle.
Références
- M. F. Singer et M. Van der Put. Galois Theory of Linear Differential Equations.
- B. Dwork, G. Gerotto et F. J. Sullivan. An introduction to G-functions.
- K. Kedlaya. p-adic Differential Equations.