GT : Théorie de Morse et applications
Au sujet de ce cours
Soit M une variété différentielle, et f: M -> R une fonction de Morse sur M, à savoir une fonction lisse dont les points critiques sont tous non-dégénérés (et en particulier isolés). La théorie de Morse propose de reconstruire la topologie de la variété M à travers l’étude de celle des ensembles de niveau {f ≤ c} pour c variant dans R. On construira par exemple l’homologie de Morse d’une variété, obtenue en comptant des trajectoires entre les points critiques d’une fonction de Morse, le long d’un certain champ de vecteurs. On en déduira des résultats généraux sur la topologie des variétés, par exemple la classification topologique des surfaces.
En fonction du temps nous verrons aussi d’autres applications :
− Groupes de Lie et espaces symétriques,
− Périodicité de Bott,
− Théorie de Morse sur les espaces de chemins,
− Etude des géodésiques fermées sur une variété Riemannienne.
Références : Morse Theory, Milnor; Morse Theory and Floer Homology, Audin-Damian.
Prérequis : géométrie différentielle, un peu de topologie algébrique.