Intégration et probabilités

Nous présenterons dans un premier temps la théorie de Lebesgue qui propose une construction de l’intégrale plus souple, plus générale et mieux adaptée aux passages à la limite, que l’intégrale de Riemann.

Dans cette théorie, la notion de mesure et d’espace mesuré y joue un rôle central. Kolmogorov remarque en 1930, que ces notions peuvent être utilisées pour donner une bonne axiomatique de la théorie des probabilités.

Ainsi, les probabilités pourraient être formellement vues comme un appendice de la théorie de l’intégration, mais nous verrons dans la deuxième partie de ce cours, que cette discipline développe ses propres questions et ses propres intuitions, notamment avec la notion d’indépendance d’événements, et l’étude des suites de variables aléatoires indépendantes (ou pas…).

Les fameux théorèmes limites que sont la loi des grands nombres et le théorème central limite seront le point d’orgue du cours.

Programme :
A – Théorie de l’intégration
1 – Espace mesuré
2 – Intégration sur un espace mesuré : définition et théorèmes limites
3 – Le cas de R et la mesure de Lebesgue : cohérence avec l’intégrale de Riemann
4 – Mesure produit, Théorème de Fubini et Formule de changement de variables
B – Probabilités
1 – Axiomatique de Kolmogorov : espace probabilisé, variable aléatoire, espérance.
2 – Loi d’une variable/vecteur aléatoire, fonction de répartition, génératrice, caractéristique. Lois classiques.
3 – Indépendance : d’événements, de variables aléatoires, de tribu. Calculs de lois de vecteur aléatoire.
4 – Convergence de variables aléatoires : en loi, en probabilité, presque sûre, dans L^p.
5 – Théorèmes limites : la loi des grands nombres, le théorème central limite.

Bibliographie
• Richard Durrett : « Probability, theory and examples »
• Jean-François Le Gall : « Measure theory, Probability, Stochastic processes »