Logique

Au sujet de ce cours

La logique s’intéresse aux liens entre les structures mathématiques en mettant l’accent sur les phénomènes de définissabilité (par des formules): axiomatisation de certaines classes, définissabilité ou non de certains ensembles, interprétations de structures les unes dans les autres, complexité combinatoire et géométrique des ensembles définissables… Par sa nature transverse, la logique mathématique a trouvé des applications à de nombreux autres sujets mathématiques : de la combinatoire à la théorie des nombres, de la géométrie algébrique à l’analyse asymptotique. La partie centrale du cours sera une introduction à la théorie des modèles et à ses applications. La partie finale sera dédiée aux phénomènes d’incomplétude et à quelques éléments de théorie des ensembles.

Programme provisoire

Logique élémentaire: dualité de Boole-Stone, sémantique du premier ordre, ultraproduits, complétude et compacité, espaces de types.

Théorie des modèles : constructions de modèles, définissabilité, plongements, catégoricité, va et vient, théorèmes d’élimination

Preuves formelles, fonctions récursives et théorèmes d’incomplétude.

Théorie des ensembles : axiomatisation, ordinaux, cardinaux, axiome du choix, hypothèse du continu.

Bibliographie

• R. Cori et D. Lascar. Logique mathématique. Cours et exercices. II : Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles. Préface de J.-L. Krivine. Paris : Masson, 1993.
• M. Hils et F. Loeser. A first journey through logic. T. 89. Stud. Math. Libr. Providence, RI : American Mathematical Society (AMS), 2019.