Logique

Au sujet de ce cours

Née des questionnements du début du 20ème siècle sur les « fondements des mathématiques », la logique mathématique est encore relativement jeune à l’échelle des mathématiques. Et bien qu’elle fournisse en effet les outils d’analyse de ces fondements, elle a largement dépassé cette seule question, mise à mal part l’impossibilité de ce programme fondationnel, mise en avant par Gödel entre autres.

La logique s’intéresse aux liens entre les structures mathématiques en mettant l’accent sur les phénomènes de définissabilité (par des formules): axiomatisation de certaines classes, définissabilité ou non de certains ensembles, interprétations de structures les unes dans les autres, complexité combinatoire et géométrique des ensembles définissables… Par sa nature transverse, la logique mathématique a trouvé des applications à de nombreux autres sujets mathématiques : de la combinatoire à la théorie des nombres en passant par la dynamique. Ses liens avec la théorie des ensembles sont une coïncidence historique ; mais comme elle permet d’en clarifier les indécidabilités, le semestre terminera sur un peu de combinatoire transfinie. Il doit pourtant être pris comme une invitation au point de vue modèle-théorique.

Programme provisoire:

• Logique élémentaire: dualité de Boole-Stone, sémantique du premier ordre, ultraproduits, complétude et compacité, espaces de types.
• Éléments de théorie des modèles : constructions de modèles, catégoricité, va et vient, élimination des quantificateurs.
• Phénomènes d’incomplétude : problèmes d’internalisation et théorèmes d’incomplétude.
• Théorie des ensembles : axiomatisation, ordinaux, cardinaux, modèles intérieurs classiques, axiome du choix, hypothèse du continu.