Logique

Au sujet de ce cours

La logique s’intéresse aux liens entre les structures mathématiques en mettant l’accent sur les phénomènes de définissabilité (par des formules): axiomatisation de certaines classes, définissabilité ou non de certains ensembles, interprétations de structures les unes dans les autres, complexité combinatoire et géométrique des ensembles définissables… Par sa nature transverse, la logique mathématique a trouvé des applications à de nombreux autres sujets mathématiques : de la combinatoire à la théorie des nombres, de la géométrie algébrique à l’analyse asymptotique. La partie centrale du cours sera une introduction à la théorie des modèles et à ses applications. La partie finale sera dédiée aux phénomènes d’incomplétude et à quelques éléments de théorie des ensembles.

Programme provisoire

Outils de base : théorie naïve des ensembles, dualité de Boole-Stone

Logique du premier ordre : langages, structures, sémantique

Théorie des modèles : définissabilité, morphismes, théories, axiomatisations, ultraproduits, théorème de compacité, plongements élémentaires, isomorphismes partiels, catégoricité, théorèmes d’élimination

Calculabilité : preuves formelles, ensembles récursifs, théorèmes de complétude et d’incomplétude de Gödel

Conclusion : une théorie axiomatique des ensembles.

Bibliographie

• R. Cori et D. Lascar. Logique mathématique. Cours et exercices. II : Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles. Préface de J.-L. Krivine. Paris : Masson, 1993.
• M. Hils et F. Loeser. A first journey through logic. T. 89. Stud. Math. Libr. Providence, RI : American Mathematical Society (AMS), 2019.