Dynamique des équations des ondes semi-linéaires

SEMESTRE 2

Le but de ce cours est de présenter des développement récents sur la dynamique des équations des ondes non-linéaires. Dans la première partie du cours, je présenterai quelques propriétés classiques des équations des ondes linéaires (cf [3, Chapitre 5]): représentation des solutions, vitesse finie de propagation, comportement asymptotique, dispersion et inégalités de Strichartz ([7], [5]), ainsi qu’un outil de concentration-compacité, la décomposition en profils [1].

La deuxième partie du cours concernera les équations d’ondes semi-linéaires proprement dites. Après une présentation des propriétés de base de ces équations (cf e.g. [5], [6]): existence locale et unicité des solutions, lois de conservation, transformations), je donnerai plusieurs exemples de dynamiques: solutions asymptotiquement linéaires (scattering), comportement auto-similaire et ondes solitaires. J’esquisserai enfin la preuve de la résolution en ondes solitaires pour l’équation des ondes critique [2], [4].

Les prérequis du cours sont les bases d’analyse réelle classique et d’analyse harmonique (transformation de Fourier). Ce cours s’inscrit dans la continuité des cours fondamentaux “Introduction aux équations aux dérivées partielles non-linéaires” et “Introduction aux équations aux dérivées partielles d’évolution”, mais peut être suivi indépendamment de ces deux cours.

Bibliographie

[1] Bahouri, H., and Gérard, P. High frequency approximation of solutions to critical nonlinear wave equations. Amer. J. Math. 121, 1 (1999), 131–175.
[2] Duyckaerts, T., Kenig, C., and Merle, F. Classification of radial solutions of the focusing, energy-critical wave equation. Camb. J. Math. 1, 1 (2013), 75–144.
[3] Folland, G. B. Introduction to partial differential equations., 2nd ed. ed. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1995.
[4] Kenig, C. E. Lectures on the energy critical nonlinear wave equation, vol. 122 of CBMS Reg. Conf. Ser. Math. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 2015.
[5] Sogge, C. D. Lectures on nonlinear wave equations. Monographs in Analysis, II. International Press, Boston, MA, 1995.
[6] Strauss, W. A. Nonlinear wave equations, vol. 73 of CBMS Regional Conference Series in Mathematics. Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC, 1989.
[7] Tao, T. Nonlinear dispersive equations, vol. 106 of CBMS Regional Conference Series in Mathematics. Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC, 2006. Local and global analysis.

Créneaux

Mardi 13h30-15h30 en salle Noether, jeudi 13h-15h en salle Bourbaki, à partir du 26 février.