CA : EDP – la régularité elliptique et parabolique

Le but de ce cours est de présenter des outils et des idées qui interviennent dans la résolution de problèmes d’équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires. Plus précisément, des outils et idées utiles à l’étude de la régularité des solutions de telles équations, qu’il s’agisse de leur continuité ou leur différentiabilité (au premier ordre ou à tout ordre). Voici deux exemples emblématiques : les équations de Navier-Stokes incompressibles (NSI) et l’équation de Landau. Dans le cas de NSI, le meilleur résultat de régularité est celui de Caffarelli, Kohn et Nirenberg (1982). Dans le second cas (Landau), il a été montré il y a moins d’un an que les solutions ne développent pas de singularité en temps fini (Guillen et Silvestre, 2023).

Suivant le nombre et l’intérêt des élèves inscrit.es, nous pourrons nous intéresser à quelques sujets parmi les suivants :

– Théorie de Schauder
– Inégalité de Harnack
– Théorie de Krylov et Safonov
– Théorie de De Giorgi, Nash et Moser

Les exposés viendront prolonger des notions introduites ou des résultats démontrés lors des séances de cours.

Bibliographie

– Elliptic partial differential equations

Han, Qing; Lin, Fanghua
Courant Lect. Notes Math., 1
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 2011, x+147 pp.
ISBN: 978-0-8218-5313-9

– Fully nonlinear elliptic equations

Caffarelli, Luis A.; Cabré, Xavier
Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 43
American Mathematical Society, Providence, RI, 1995, vi+104 pp.
ISBN: 0-8218-0437-5