CA: Analyse rugueuse (trajectoires rugueuses et extensions)

On désigne sous le nom d’analyse rugueuse un ensemble de méthodes analytiques, développées dans les deux dernières décennies, qui permettent de traiter les fonctions à faible régularité qui apparaissent naturellement quand on considère des objets stochastiques continus. L’étape cruciale est typiquement d’identifier un espace métrique naturel sur lequel l’application « bruit-vers-solution » est continue.

Ces méthodes offrent d’une part un point de vue nouveau (et souvent plus naturel et robuste) sur des objets classiques (comme les EDS définies par le calcul d’Itô), et d’autre part permettent de considérer des objets qui étaient jusqu’alors hors de portée (comme des EDO conduites par des mouvements Browniens fractionnaires, ou des EDP stochastiques singulières).

Le but de ce cours sera de présenter ces différentes techniques, en se concentrant principalement sur le cas simple des EDO, c’est-à-dire de la théorie des trajectoires rugueuses de T. Lyons. Suivant le temps restant, nous pourrons ensuite considérer des extensions (structures de régularité pour EDPS singulières, couture stochastique et régularisation par le bruit d’EDO).
Aucun pré-requis d’analyse stochastique n’est requis (il suffira de connaître la définition du mouvement brownien).

Bibliographie

Friz, P. K., & Hairer, M. (2020). A course on rough paths. Springer International Publishing.
(disponible au téléchargement https://www.hairer.org/Teaching.html)