CA: Systèmes à diffusion croisée

L’objet de ce cours est d’étudier une classe de systèmes d’équations aux dérivées partielles (EDP) utilisés en dynamique des populations pour décrire l’occupation d’un espace par différentes espèces animales. De manière assez classique, les populations y sont décrites par l’intermédiaire de deux mécanismes fondamentaux : la dispersion des individus (modélisée par un opérateur de diffusion) et leurs reproduction ou décès (modélisés par un terme de réaction). La spécificité des systèmes sur lesquels nous nous concentrerons tient dans l’expression  » diffusion croisée  » : pour de tels systèmes la diffusivité (ou mobilité) d’une espèce dépend – potentiellement de manière non linéaire – de la présence de ses concurrents.

La première publication proposant un tel système date de 1979, dans le Journal of Theoretical Biology. Les auteurs, Shigesada, Kawasaki et Teramoto, ont proposé ce type de systèmes (dorénavant appelés  » SKT « ) pour capturer le phénomène de ségrégation des espèces, c’est-à-dire une répartition quasiment disjointe de l’espace entre les différents constituants de la population. Il est fréquent, en mathématiques appliquées, qu’un outil de modélisation efficace conduise à des questions mathématiques intéressantes et étonnamment difficiles ; nous verrons dans ce cours que les systèmes à diffusion croisée sont une belle illustration de ce fait.

Après une rapide introduction qui dévoilera (formellement) le lien entre la diffusion croisée et la ségrégation, le cours se concentrera d’abord sur l’équation dite de Kolmogorov, une EDP parabolique dont l’opérateur de diffusion est adapté au comportement d’individus sensibles (par opposition à la loi de Fick, pour la diffusion de matière inerte). Cette équation étant la brique de base des systèmes à diffusion croisée que nous étudierons, il s’agira de la comprendre dans un cadre de régularité très faible. Nous aborderons ensuite à proprement parler l’étude de systèmes à diffusion croisée. Comme c’est souvent le cas pour les EDP non linéaires, nous verrons que la question même de l’existence de solutions n’est pas une trivialité. Nous fournirons un schéma de construction de solutions faibles globales par approximation-compacité, reposant sur la dissipation au cours du temps d’une fonctionnelle, appelée l’entropie du système. Suivront l’existence de solutions plus régulières (mais locales), certaines propriétés d’unicité fort-faible et éventuellement des résultats plus difficiles : la réalisation du système SKT comme limite asymptotique d’équations plus élémentaires ou l’analyse rigoureuse de certains états d’équilibres offrant une ségrégation
des espèces.

En plus d’explorer des systèmes à diffusion croisée, ce cours illustrera notamment certaines méthodes standards dans l’étude d’équations paraboliques (principe du maximum, lemme d’Aubin-Lions, approximation-compacité, point fixe en dimension infinie, analyse asymptotique) que nous présenterons dans le cadre spécifique qui nous intéresse tout en soulignant la portée plus large de ces outils.

Contenu :
– Introduction et motivation
– Équation de Kolmogorov avec diffusivité peu régulière
– Structure entropique des système à diffusion croisée
– Théorie d’existence pour la diffusion croisée
– Unicité fort-faible ou dérivation rigoureuse

Prérequis : Analyse fonctionnelle ; convergences faibles ; distributions ; espaces de Sobolev. En revanche, aucune connaissance préalable en EDP n’est requise.

Bibliographie

– Shigesada, Kawasaki, Teramoto. Spatial segregation of interacting species. Journal of Theoretical Biology.
– Chen, Jüngel. Analysis of a parabolic cross-diffusion population model without self-diffusion. Journal of Differential Equations.
– Le Bris, Lions. Existence and uniqueness of solutions to Fokker–Planck type equations with irregular coefficients. Communications in Partial Differential Equations.
– Moussa. From non-local to classical SKT systems: triangular case with bounded coefficients. SIAM Journal of Mathematical Analysis.
Roques. Reaction-diffusion models for spatial ecology. QUAE.