Un empilement de sphères est une collection de boules de rayon 1 disjointes dans un espace Euclidien. Un exemple d’une question classique que l’on peut se poser est : quelle est la proportion maximale possible de l’espace que l’on peut remplir avec ces boules ? Il existe très peu de dimensions dans lesquelles la réponse à cette question naïve est connue. Dans cet exposé je vais parler de la théorie générale des empilements de sphères, sa connections avec d’autres domaines de mathématiques (comme la géométrie systolique) et les méthodes qui ont été utilisés dans des progrès récents spectaculaires.