Aspects mathématiques des théories de jauge

Les théories de jauge forment le cadre dans lequel les physiciens théoriciens d’aujourd’hui parviennent à décrire et à prédire le comportement de la matière à l’échelle de l’infiniment petit. Ce que les physiciens observent dans le Large Hadron Collider (LHC, Grand collisionneur de hadrons) par exemple, permet entre autres de vérifier et d’affiner le Modèle Standard, qui est une théorie de jauge particulièrement sophistiquée.Les théories de jauge ne sont pas des théories récentes : les premières ont commencé à être élaborées presque en même temps que la mécanique quantique, dans les années 1920. Néanmoins, malgré des décennies d’efforts et de progrès substantiels, elles ne sont toujours pas rigoureusement fondées mathématiquement.Par exemple, une des meilleures prédictions théoriques de toute la physique, celle de la valeur du moment magnétique anomal de l’électron, dont l’écart relatif à la valeur expérimentale est de l’ordre du milliardième, est obtenue comme somme des quatre premiers termes d’une série divergente, sans que cette troncature à l’ordre quatre soit réellement choisie par les physiciens, puisque les quatre premiers termes de cette série sont en fait les seuls que l’on soit parvenu à calculer jusqu’à maintenant.La qualité prédictive inouïe des théories de jauge, comparée à la grande complexité et au manque de rigueur de leur formulation actuelle, laisse penser qu’elles n’ont pas encore trouvé le cadre naturel de leur expression mathématique, comme l’est par exemple la géométrie symplectique pour la mécanique classique.Dans cet exposé de mathématiques, je présenterai certains des objets qui constituent le paysage des théories de jauge : espaces fibrés, connexions, courbure, transport parallèle, et je montrerai comment, dans certaines situations suffisamment simples, les objets et les quantités considérés par les physiciens peuvent donner lieu à des constructions et à des énoncés mathématiques rigoureux.