Dans les années 1980, Gross et Zagier ont établi une formule reliant les hauteurs de points CM sur les courbes modulaires aux dérivées de certaines fonctions L, ouvrant la voie à des applications spectaculaires à la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (BSD) pour les courbes elliptiques. J’exposerai d’abord la trichotomie des points rationnels sur les courbes algébriques, avant de présenter la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Je décrirai ensuite les quatre piliers qui sous-tendent la démonstration de Gross–Zagier–Kolyvagin de la conjecture BSD en rang analytique 1. Si le temps le permet, je dirai quelques mots sur la théorie en dimension supérieure.