Distances dans les cartes planaires aléatoires et intégrabilité discrète

Les propriétés métriques des cartes (graphes plongés dans des surfaces)aléatoires ont été beaucoup étudiées ces dernières années. Dans cetexposé, je présenterai une approche combinatoire à ces questions,exploitant des bijections entre les cartes et certains arbres étiquetés.Grâce à un phénomène inattendu d’intégrabilité discrète, il estpossible de compter exactement les cartes ayant deux ou trois pointsmarqués à distances prescrites, et plus encore. Je parlerai ensuite desapplications probabilistes à l’étude de la carte brownienne (obtenuecomme limite d’échelle des cartes planaires aléatoires) et des cartesplanaires uniformes infinies (obtenues comme limites locales). Si letemps le permet, j’expliquerai également l’origine combinatoire del’intégrabilité discrète, liée au développement en fraction continue dela résolvante du modèle à une matrice. L’exposé repose sur des travauxen communs avec E. Guitter et P. Di Francesco.