Arithmétique et géométrie autour des nombres p-adiques

À tout nombre premier p est associé le corps Q_p dit des nombres p-adiques, qui est la complétion de Q pour une valeur absolue un peu inhabituelle qui vérifie l’inégalité |p|<1. Dans cet exposé, je présenterai ce corps Q_p et montrerai par quelques exemples son intérêt en arithmétique. Puis je parlerai un peu de géométrie analytique sur ce Q_p en expliquant les raisons qui ont poussé à la développer, les obstacles rencontrés et les grandes idées qui ont permis de les surmonter (sans entrer dans les détails techniques) ; et je dirai peut-être un mot des espaces perfectoïdes introduits il y a dix ans par Peter Scholze et qui ont profondément transformé le sujet.