En théorie de la transcendance, on cherche à cerner les relations algébriques entre des nombres. Un problème plus simple consiste à se poser la même question sur les fonctions qui s’évaluent en ces nombres en espérant des théorèmes de transfert. D’après des résultats de Nishioka et Philippon, c’est le cas des fonctions de Mahler, qui satisfont des équations fonctionnelles discrètes en un opérateur de type Frobenius. En effet, les relations algébriques entre les valeurs de ces fonctions en des points algébriques se relèvent en des relations entre les fonctions elles-mêmes. La classe des fonctions de Mahler est stable par dérivation. On peut ainsi se poser la question de la dépendance algébrique entre une fonction de Mahler et ses dérivées. Depuis quelques années, des théories de Galois à paramètres (Cassidy-Singer, H.-Singer ) ont fourni un cadre formel et systématique pour attaquer ces questions de dépendances différentielles algébriques fonctionnelles. Nous essaierons dans cet exposé d’introduire ces théories dans les grandes lignes. Nous conclurons en montrant comment elles permettent de déterminer non seulement l’existence mais aussi la forme des relations différentielles algébriques satisfaites par les fonctions de Mahler et en particulier par les séries génératrices de suites p-automatiques de rang 2. Ces derniers résultats sont issus d’une collaboration avec T. Dreyfus (Institut Camille Jordan, Lyon) et J. Roques (Institut Fourier, Grenoble)
- Séminaire Géométrie et théorie des modèles