Géométrie et transcendance

Au delà de la preuve par Hermite et Lindemann de la transcendance des constantes e et $pi$,Les nombres algébriques sont ceux qui sont solution d’une équation polynomiale (non triviale) à coefficients rationnels ;les autres sont appelés transcendants, parmi lesquels $e$ (Hermite) et $pi$ (Lindemann). De même, les fonctions algébriques (d’une variable $z$) sont celles qui sont solutiond’une équation polynomiale (non triviale) à coefficients polynomiaux ; les autres sont qualifiées de transcendantes,par exemple la fonction exponentielle.La théorie des nombres transcendants s’attache à établir la transcendance de valeurs de fonctions méromorphes transcendantes,ou, plus généralement, les relations algébriques possibles entre valeurs de telles fonctions ; elle est limitée, bien sûr,par les équations fonctionnelles auxquelles obéissent ces fonctions — par exemple, l’équation fonctionnelle $exp(x+y)=exp(x)exp(y)$de la fonction exponentielle. On verra ainsi sur l’exemple de la fonction exponentielle, ainsi que sur celui de la fonction modulaire,comment ces deux thèmes s’entrelacent dans la géométrie arithmétique contemporaine.