Méthodes d’entropie et résultats de stabilité dans les inégalités de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev

Les méthodes d’entropie permettent de prouver certaines inégalités fonctionnelles optimales grâce à des équations de diffusion, linéaires, ou non-linéaires. Connaître le taux de convergence optimal des solutions de l’équation d’évolution équivaut alors à connaître la constante optimale dans une inégalité fonctionnelle associée. Cela permet aussi de clarifier le rôle d’un problème spectral, associé à l’équation de diffusion en temps long, dans le régime non-linéaire et de montrer, par exemple, des résultats d’unicité dans des équations elliptiques non-linéaires, ou de symétrie pour des fonctions optimales. Les équations de diffusion ont de multiples propriétés qu’il est possible d’exploiter pour l’étude des inégalités fonctionnelles, par exemple des propriétés de régularisation, que l’on peut utiliser pour montrer des résultats de stabilité constructifs dans des inégalités de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. Le but de cet exposé est d’énoncer un résultat récent obtenu avec M. Bonforte, B. Nazaret et N. Simonov, en le situant parmi un certain nombre d’autres résultats basés sur les méthodes d’entropie.