Voici 3 phénomènes :1 – Parmi toutes les lignes polygonales convexes et croissantes de N^2 joignant l’origine au point de coordonnées (n,n), l’écrasante majorité se concentre près d’un arc de parabole.2 – Si l’on dispose des carrés unitaires les uns après les autres dans un coin de quart de plan, de manière aléatoire uniforme parmi tous les creux formés par les carrés déjà placés, on définit alors un diagramme de Young aléatoire dont la forme se rapproche de celle d’une parabole lorsque le nombre de carrés tend vers l’infini.3 – Considérons la métrique de Z^2 privé d’une proportion epsilon d’arêtes tirées au sort (amas de percolation). La boule de rayon n renormalisée converge vers un carré (cas de Z^2) dont les epsilon-voisinage des coins sont arrondis par des arcs de parabole.À l’origine de 2 de ces phénomènes : le TASEP (totally asymmetric exclusion process) un système de particules évoluant aléatoirement sur Z.
Deux papiers courts et magnifiques sur ces sujets :H. Rost. Nonequilibrium behaviour of a many particle process: density profile and local equilibria. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 58 (1), 41–53 (1981).Sinai, Ya. G. Probabilistic approach to the analysis of statistics for convex polygonal lines. Funct. Anal. Appl. 28 108–113(1994).