Algèbre et géométrie

Soit K un corps de caractéristique nulle et soit X une variété surla clôture algébrique de K. On suppose que X est isomorphe à toutes ses conjuguéespar le groupe de Galois absolu de K. Autrement dit, le corps des modules de X estK. Soit L une extension algébrique de K. On dit que L est corps de définition de X s'il existeune variété sur L qui devient isomorphe à X après extension des scalaires.On peut se demander quels sont les corps de définition de X.On dit qu'il y a une […]

Soit X une variété algébrique définie sur un corps de nombres k.La théorie classique de la descente de Colliot-Thélène et Sansuc (raffinée parSkorobogatov) consiste en gros à décrire les propriétés arithmétiques de X viacelles des X-torseurs sous les groupes de type multiplicatif. Les résultatsprincipaux de cette théorie nécessitent l'hypothèse que X est propre, ou tout aumoins que les seules fonctions inversibles sur X sont constantes. On expliqueracomment on peut s'affranchir de cette hypothèse à condition de travailler avecl'hypercohomologie de certains complexes au lieu de considérer seulement desmodules galoisiens.