Algèbre et géométrie

Les surfaces arithmétiques formelles-analytiques sont un analogue — mélant arithmétique et analyse complexe — des voisinages tubulaires des courbes dans les surfaces. Je donnerai plusieurs applications de ces objets à des questions de finitude des groupes fondamentaux.

Koebe a démontré un résultat d'uniformisation pour les surfaces de Riemann compactes à travers les « groupes de Schottky ». Ce résultat a été étendu au cadre non archimédien par Mumford. J'expliquerai comment, en utilisant les « espaces de Berkovich », on peut mener une étude uniforme de tous ces objets et de leurs invariants associés.

I’ll talk about relations between products of Dehn twists along simple closed curves on an oriented surface F. We view these products as elements of the boundary-relative mapping class group of F. A famous example is the `lantern relation’, discovered by D. Johnson in the 70s by drawing pictures. I’ll describe how many such relations, such as the lantern, can be discovered by viewing F as a complex 1-manifold sitting inside of a complex 2-manifold as part of a `Lefschetz fibration’. Time permitting, I’ll mention higher-dimensional generalizations and open problems.

En juin 1986, inspiré par les travaux de Drinfeld, G. Anderson publie un article fondamental intitulé « t-Motives », où il introduit les objets qui portent aujourd'hui son nom. Ce que l'on peut deviner au titre, c'est qu'Anderson y présente la contrepartie des motifs de Grothendieck en arithmétique des corps de fonctions, où Fq joue le rôle de Z. Pour autant, nulle justification n'est donnée quant au choix du nom, et je me considérerais comme un mathématicien accompli le jour où j'aurai pleinement compris cette analogie. Dans cet exposé, j'expliquerai […]

Deux groupes sont dits élémentairement équivalents s'ils vérifient les mêmes énoncés du premier ordre, c'est-à-dire les mêmes énoncés mathématiques dont les variables désignent uniquement des éléments d'un groupe. Dans les années 40, Tarski a posé la question suivante : les groupes libres de rang au moins deux sont-ils élémentairement équivalents ? Cette question est longtemps restée ouverte, et ce n'est qu'au début des années 2000 qu'une réponse affirmative a finalement été apportée par Sela et par Kharlampovich et Myasnikov dans deux séries de travaux volumineuses. Dans mon exposé, je présenterai […]

Le mapping class group Mod(S) d'une surface S de genre au moins 3 est d'abélianisation finie. Une conjecture d'Ivanov dit que cette propriété devrait se prolonger aux sous-groupes d'indice fini de Mod(S). En 2013, Putman et Wieland formulent une autre conjecture, d'apparence plus abordable et essentiellement équivalente à celle d'Ivanov : pour tout revêtement S'->S d'une surface de genre >=2, l'action (virtuelle) du mapping class groupe de S sur le H_1 de la clôture de S' n'a pas d'orbite finie non-nulle. En 2022, Marković a produit un contre-exemple à cette […]

Absolute Galois groups have played a central role in most major breakthroughs in Algebraic Number Theory in the last half century. Typically the action of these groups is through an "almost pro-p quotient" with ramification at primes above p. For such groups the Poitou-Tate duality theorems are powerful. These theorems do not hold for pro-p groups unramified at primes above p. I will survey how this tame situation differs from the wild one above and introduce theorems of Labute and Schmidt which give situations where certain tame Galois groups have […]

L'hypothèse du cobordisme est une conjecture qui depuis son introduction par Baez et Dolan, et sa formulation précise par Lurie, a fortement motivé le développement des catégories supérieures, mais aussi le développement d'invariants spécifiques à différentes structures géométriques. Elle fait un lien entre les (approches modernes aux) catégories supérieures, les invariants des variétés et (plus lointain) la physique mathématique. Essentiellement, c'est une sorte d'analogue pour les théories des champs topologiques (qui peuvent être vus comme une forme hautement structurée d'invariants des variétés) des axiomes d'unicité des théories homologiques classiques d'Eilenberg—Steenrod. […]

La correspondance de Langlands vise à établir un lien entre représentations des groupes de Galois absolus de corps de nombres / de corps locaux et représentations de groupes algébriques sur lesdits corps. Nous nous intéresserons à l'une des branches de ce problème : pour le groupe de Galois de Q_p, avec des anneaux de coefficients de caractéristique (résiduelle) p. Les représentations de dimension 1 du groupe de Galois de Q_p sur F_p peuvent se classer grâce à la théorie de corps de classes local. Elles sont alors naturellement reliées aux […]