Algèbre et géométrie

Le groupe de Witt d'un anneau est un gadget algébrique permettant de contrôler les formes bilinéaires symétriques sur cet anneau. Notre but principal est de le définir et de donner un bref panorama (partial) de méthodes grâce auxquelles on peut partiellement le comprendre. Lorsque l'anneau considéré est l'algèbre des fonctions polynomiales sur une variété algébrique réelle affine, son groupe de Witt est intimement lié à la topologie de l'ensemble des solutions réelles des équations qui définissent cette variété : si le temps le permet, nous esquisserons ces liens.

L'une des opérations les plus importantes en mathématiques est la multiplication de matrices. En permettant aux indices de devenir continus, on obtient la convolution de fonctions. De manière analogue, on peut définir la convolution de fonctions sur les groupes de Lie. Les groupoïdes de Lie offrent une généralisation et unification de ces différentes notions de convolution. Je présenterai une introduction aux groupoïdes de Lie, suivie d'une discussion sur plusieurs de leurs applications à l'analyse des équations aux dérivées partielles.

Est-ce qu'un modèle d'IA peut démontrer un énoncé mathématique complexe ? Formaliser des preuves ? Une IA peut-elle développer une intuition mathématique plus puissante qu'un humain sur un problème spécifique et aider à la découverte de nouveaux théorèmes ? Les récentes avancées issues de la combinaison de différentes techniques de machine learning allant des modèles de langage aux méthodes d'apprentissage par renforcement posent de nombreuses questions sur l'avenir de la pratique des mathématiques. Pour explorer ces enjeux, nous présenterons plusieurs exemples de travaux récents en IA pour les mathématiques et […]

Dans les années 1980, Gross et Zagier ont établi une formule reliant les hauteurs de points CM sur les courbes modulaires aux dérivées de certaines fonctions L, ouvrant la voie à des applications spectaculaires à la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (BSD) pour les courbes elliptiques. J’exposerai d’abord la trichotomie des points rationnels sur les courbes algébriques, avant de présenter la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Je décrirai ensuite les quatre piliers qui sous-tendent la démonstration de Gross–Zagier–Kolyvagin de la conjecture BSD en rang analytique 1. Si le temps le permet, je […]

Le graphe fin des courbes est un objet associé à (presque) toute surface S, sur lequel le groupe des homéos de S agit fidèlement par isométries. C'est un outil tout neuf qui permet de dire de nouvelles choses de ce groupe des homéos de S. J'expliquerai en particulier comment l'action d'un homéo est déterminée par ses propriétés rotationnelles, en quoi ce fait est intéressant et les mots compliqués de ce résumé.

Dans cet exposé, je parlerai des trous noirs en m'appuyant sur deux exemples, présenterai le comportement générique des singularités de l'espace-temps conjecturé par Penrose dans ses conjectures de censure cosmique, et ferai une petite revue des résultats récents autour de ces conjectures.

La méthode du cercle, introduite par Hardy et Littlewood dans les années 20, est un outil majeur en théorie analytique des nombres. Constamment améliorée, elle a conduit à des résultats remarquables, en particulier sur des problèmes additifs concernant les nombres premiers. Dans cette direction, Vinogradov l'a développée en 1937 pour montrer que tout entier impair assez grand est somme de trois nombres premiers. Récemment, elle a connu de nouveaux raffinements, notamment grâce à des travaux de Bourgain et Maynard, conduisant à des résultats spectaculaires sur les chiffres des nombres premiers. […]

Après avoir précisé comment tirer au hasard une surface hyperbolique de genre g, je décrirai la géométrie d'une telle surface aléatoire. En particulier, on verra que, lorsque g tend vers l'infini, sa systole (la longueur de la plus courte géodésique fermée) est en moyenne d'environ 1,61498.