Algèbre et géométrie

L'o-minimalité est une notion mise en évidence dans les années 80 (principalement par van den Dries, Pillay, et Steinhorn), qui représente un cadre possible pour la "géométrie (réelle) modérée". Il s'agit, afin d'exclure les comportements pathologiques de fonctions réelles, de restreindre l'étude à des classes simples de fonctions, via une condition de définissabilité. Il est intéressant de noter que cette notion est aujourd'hui utilisée dans des domaines aussi divers que la géométrie arithmétique, l'optimisation, ou l'étude de réseaux de neurones. La trichotomie de Zilber, dont la formulation modèle-théorique remonte également […]

Certains jeux de données présentent des caractéristiques géométriques et topologiques non-triviales qu'il peut être intéressant d'inférer. Dans cet exposé, j'aborderai quelques questions associées à l'estimation optimale du support d'une loi de probabilité inconnue, à partir d'échantillons aléatoires de celle-ci. Je débuterai par le cas simple des supports convexes, pour ensuite aborder celui des sous-variétés de l'espace euclidien, puis des sous-variétés à bord. Dans ces trois cas, je discuterai de la régularité quantitative induite par le "reach" (H. Federer, 1959), une quantité centrale dans cette théorie. Si le temps le permet, […]

Étant donné un domaine convexe du plan, nous pouvons nous intéresser à la dynamique billard associée : un point sans masse bouge le long d'une ligne droite à l'intérieur du domaine, et ensuite, il rebondit sur le bord de façon élastique. Ces dynamiques sont des exemples d'applications déviant la verticale et ont été largement étudiées dans la littérature. Nous présenterons quelques résultats classiques et parlerons d'ensembles d'Aubry-Mather, outils efficaces pour comprendre ces dynamiques. Ensuite, nous discuterons (avec plus ou moins de détails, par rapport au temps restant) ce qui se […]

La conjecture de Minkowski (celle sur le minimum inhomogène des réseaux euclidiens, datant de envion 1900) est un problème de géométrie des nombres, où l'on cherche à quantifier à quel point l'anneau des entiers d'un corps de nombres totalement réel est euclidien par rapport à la norme. Elle est vérifiée en basse dimension (<=9), mais ouverte en général.

Dans une série d'articles qui débute dans les années 1960, H. Furstenberg introduit une approche pour étudier les groupes de Lie et leurs sous-groupes discrets. Elle repose notamment sur deux aspects : les propriétés asymptotiques de ces groupes et des méthodes probabilistes. Ces idées ont été cruciales dans de nombreux résultats de la fin du 20eme siècle et continuent d'avoir une grande influence aujourd'hui. Je présenterai quelques notions essentielles de cette théorie ainsi que plusieurs exemples de théorèmes emblématiques.

I will tell you about a conjecture by Griffiths and Harris from 1985 concerning the degree of curves on 3-dimensional hypersurfaces, and how this conjecture is related to the failure of the integral Hodge conjecture for these varieties. I will then explain how to prove some cases of their conjecture using a degeneration technique by Kollár, and how to generalize this result to higher dimensions. Finally, I want to end with some open questions.

Le groupe de Witt d'un anneau est un gadget algébrique permettant de contrôler les formes bilinéaires symétriques sur cet anneau. Notre but principal est de le définir et de donner un bref panorama (partial) de méthodes grâce auxquelles on peut partiellement le comprendre. Lorsque l'anneau considéré est l'algèbre des fonctions polynomiales sur une variété algébrique réelle affine, son groupe de Witt est intimement lié à la topologie de l'ensemble des solutions réelles des équations qui définissent cette variété : si le temps le permet, nous esquisserons ces liens.

L'une des opérations les plus importantes en mathématiques est la multiplication de matrices. En permettant aux indices de devenir continus, on obtient la convolution de fonctions. De manière analogue, on peut définir la convolution de fonctions sur les groupes de Lie. Les groupoïdes de Lie offrent une généralisation et unification de ces différentes notions de convolution. Je présenterai une introduction aux groupoïdes de Lie, suivie d'une discussion sur plusieurs de leurs applications à l'analyse des équations aux dérivées partielles.

Est-ce qu'un modèle d'IA peut démontrer un énoncé mathématique complexe ? Formaliser des preuves ? Une IA peut-elle développer une intuition mathématique plus puissante qu'un humain sur un problème spécifique et aider à la découverte de nouveaux théorèmes ? Les récentes avancées issues de la combinaison de différentes techniques de machine learning allant des modèles de langage aux méthodes d'apprentissage par renforcement posent de nombreuses questions sur l'avenir de la pratique des mathématiques. Pour explorer ces enjeux, nous présenterons plusieurs exemples de travaux récents en IA pour les mathématiques et […]

Dans les années 1980, Gross et Zagier ont établi une formule reliant les hauteurs de points CM sur les courbes modulaires aux dérivées de certaines fonctions L, ouvrant la voie à des applications spectaculaires à la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (BSD) pour les courbes elliptiques. J’exposerai d’abord la trichotomie des points rationnels sur les courbes algébriques, avant de présenter la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Je décrirai ensuite les quatre piliers qui sous-tendent la démonstration de Gross–Zagier–Kolyvagin de la conjecture BSD en rang analytique 1. Si le temps le permet, je […]