Algèbre et géométrie

Le mapping class group Mod(S) d'une surface S de genre au moins 3 est d'abélianisation finie. Une conjecture d'Ivanov dit que cette propriété devrait se prolonger aux sous-groupes d'indice fini de Mod(S). En 2013, Putman et Wieland formulent une autre conjecture, d'apparence plus abordable et essentiellement équivalente à celle d'Ivanov : pour tout revêtement S'->S d'une surface de genre >=2, l'action (virtuelle) du mapping class groupe de S sur le H_1 de la clôture de S' n'a pas d'orbite finie non-nulle. En 2022, Marković a produit un contre-exemple à cette […]

Absolute Galois groups have played a central role in most major breakthroughs in Algebraic Number Theory in the last half century. Typically the action of these groups is through an "almost pro-p quotient" with ramification at primes above p. For such groups the Poitou-Tate duality theorems are powerful. These theorems do not hold for pro-p groups unramified at primes above p. I will survey how this tame situation differs from the wild one above and introduce theorems of Labute and Schmidt which give situations where certain tame Galois groups have […]

L'hypothèse du cobordisme est une conjecture qui depuis son introduction par Baez et Dolan, et sa formulation précise par Lurie, a fortement motivé le développement des catégories supérieures, mais aussi le développement d'invariants spécifiques à différentes structures géométriques. Elle fait un lien entre les (approches modernes aux) catégories supérieures, les invariants des variétés et (plus lointain) la physique mathématique. Essentiellement, c'est une sorte d'analogue pour les théories des champs topologiques (qui peuvent être vus comme une forme hautement structurée d'invariants des variétés) des axiomes d'unicité des théories homologiques classiques d'Eilenberg—Steenrod. […]

La correspondance de Langlands vise à établir un lien entre représentations des groupes de Galois absolus de corps de nombres / de corps locaux et représentations de groupes algébriques sur lesdits corps. Nous nous intéresserons à l'une des branches de ce problème : pour le groupe de Galois de Q_p, avec des anneaux de coefficients de caractéristique (résiduelle) p. Les représentations de dimension 1 du groupe de Galois de Q_p sur F_p peuvent se classer grâce à la théorie de corps de classes local. Elles sont alors naturellement reliées aux […]

L'o-minimalité est une notion mise en évidence dans les années 80 (principalement par van den Dries, Pillay, et Steinhorn), qui représente un cadre possible pour la "géométrie (réelle) modérée". Il s'agit, afin d'exclure les comportements pathologiques de fonctions réelles, de restreindre l'étude à des classes simples de fonctions, via une condition de définissabilité. Il est intéressant de noter que cette notion est aujourd'hui utilisée dans des domaines aussi divers que la géométrie arithmétique, l'optimisation, ou l'étude de réseaux de neurones. La trichotomie de Zilber, dont la formulation modèle-théorique remonte également […]

Certains jeux de données présentent des caractéristiques géométriques et topologiques non-triviales qu'il peut être intéressant d'inférer. Dans cet exposé, j'aborderai quelques questions associées à l'estimation optimale du support d'une loi de probabilité inconnue, à partir d'échantillons aléatoires de celle-ci. Je débuterai par le cas simple des supports convexes, pour ensuite aborder celui des sous-variétés de l'espace euclidien, puis des sous-variétés à bord. Dans ces trois cas, je discuterai de la régularité quantitative induite par le "reach" (H. Federer, 1959), une quantité centrale dans cette théorie. Si le temps le permet, […]

Étant donné un domaine convexe du plan, nous pouvons nous intéresser à la dynamique billard associée : un point sans masse bouge le long d'une ligne droite à l'intérieur du domaine, et ensuite, il rebondit sur le bord de façon élastique. Ces dynamiques sont des exemples d'applications déviant la verticale et ont été largement étudiées dans la littérature. Nous présenterons quelques résultats classiques et parlerons d'ensembles d'Aubry-Mather, outils efficaces pour comprendre ces dynamiques. Ensuite, nous discuterons (avec plus ou moins de détails, par rapport au temps restant) ce qui se […]