Théorie des Modèles et Groupes

We take a look at structures that consist of a field together with finitely many distinguished field automorphisms required to commute. The theory of fields with one distinguished automorphism has a model companion known as ACFA, which Z. Chatzidakis and E. Hrushovski have studied in depth. However, Hrushovski has proved that if you look at fields with two or more commuting automorphisms, then the existentially closed models of the theory do not form a first order model class. This leads us to investigate them within a non-elementary framework. One way […]

A complete theory T is called geometric if the algebraic closure has the exchange property in all models of T and the theory eliminates the quantifier exists infinity. In such theories there is a rudimentary notion of independence given by algebraic independence. Examples of geometric theories include SU-rank one theories and dense o-minimal theories.An expansion of a model M of T by a unary predicate H is called dense-codense if for every finite dimensional subset A of M and every non algebraic type p(x) over A, there is a realization […]

(En collaboration avec Joshua Wiscons)L'exposé mélange théorie des modèles, théorie des groupes, et algèbre géométrique. On y parlera de groupes de rang de Morley fini, mais il suffit de savoir naïvement ce qu'est une dimension à valeurs entières, sans devoir maîtriser les finesses de la conjecture de Cherlin-Zilber.Un groupe abstrait porte peu d'information de nature géométrique, même au sens des géométries d'incidence, et c'est toujours remarquable si cela se produit.Le pur groupe SO(3,R), par exemple, permet de redéfinir l'espace projectif réel. PGL(2,C) permet presque la même chose : il définit […]

We take a look at structures that consist of a field together with finitely many distinguished field automorphisms required to commute. The theory of fields with one distinguished automorphism has a model companion known as ACFA, which Z. Chatzidakis and E. Hrushovski have studied in depth. However, Hrushovski has proved that if you look at fields with two or more commuting automorphisms, then the existentially closed models of the theory do not form a first order model class. This leads us to investigate them within a non-elementary framework. One way […]

The class of NSOP_1 theories contains the simple theories and many interesting non-simple theories, such as the omega-free PAC fields or generic vector spaces with a non-degenerate bilinear form. With Itay Kaplan, we introduced Kim-independence which agrees with non-forking independence within the simple theories and shares many of its nice properties within the simple NSOP_1 context. One very basic roadblock in lifting simplicity theory to the NSOP_1 setting, however, was transitivity: a free extension of a free extension should still be a free extension. This is almost immediate for non-forking […]

Inspired by the model theoretic study of profinite groups, we discuss the foundations of a model theoretic approach to proalgebraic groups. Our axiomatization is based on the tannakian philosophy. Through a tensor analog of skeletal categories we are able to consider neutral tannakian categories with a fibre functor as many-sorted first order structures. The theory of a diagonalizable proalgebraic group is well understood. It is determined by the theory of the base field and the theory of its character group. This is joint work with Anand Pillay.

Soit G un groupe élémentairement équivalent à Z dans le langage de Presburger L_Pres. Soit L une expansion du langage L_Pres. On dit que la théorie de (G, L) est L_Pres-minimale si tout sous-ensemble L-définissable de M est L_Pres-définissable (où M est un modèle de la théorie). Si G=Z, des résultats de C. Michaux et R. Villemaire impliquent que Th(Z, L) est L_Pres-minimale ssi la clôture algébrique a la propriété d'échange. Dans cet exposé, je discuterai le cadre général. En particulier, nous verrons que Th(G,L) est L_Pres-minimale ssi la clôture […]

Entre les catégories des groupes semialgébriques et des groupes de Lie se trouve la catégorie des groupes définissables dans une expansion o-minimale des réels (noté simplement définissables dans la suite). Puisque tout groupe définissable peut être équipé d'une structure de groupe de Lie (Pillay 1989), il est intéressant de savoir sous quelles conditions un groupe de Lie est isomorphe (au sens de Lie) à un groupe définissable. Starchenko, Onshuus et Conversano ont répondu à cette question dans le cas où le groupe est résoluble (2016). Nous nous intéresserons ici au […]

(avec Tom Scanlon)J'exposerai un résultat d'élimination des quantificateurs pour les corps henséliens de degré d'imperfection fini, relativement à la famille uniforme de tous les groupes RV_gamma = K^,imes/1+gamma m. Ce résultat permet alors de démontrer que toute extension dense séparable de corps henséliens de même degré d'imperfection fini est élémentaire. En particulier, l'extension F_p(t)^h leq F_p((t)) est élémentaire. Ce dernier énoncé précise un résultat d'Artin selon lequel elle est existentiellement close.

Y-a-t-il une théorie des mesures de Keisler pour les théories simples? J'expliquerai quelques exemples, suggérés par Hrushovski, qui montrent que les mesures dans une théorie simple sont plus complexes que prévu. Ils sont basés sur des actions de groupes libres.Travail en commun avec plusieurs chercheurs.

Une théorie est équationnelle, si toute formule est combination booléenne d'équations. Une équation est une formule telle que la famille d'intersections finies d'instances n'admet aucune chaine infinie décroissante. Toute théorie équationnelle est stable, mais la réciproque n'est pas vraie : Sela ainsi que Müller-Sklinos ont montré que le groupe libre non-abélien n'est pas équationnel. Malgré tout, on connaît peu d'exemples de théories stables non-équationnelles.Dans cet exposé, nous présenterons un travail en commun avec Martin Ziegler, où nous exhiberons une infinité de nouvelles théories stables non-équationnelles, à partir du pseudo-espace coloré […]

Une sous-partie d'un groupe infini est IP si elle contient tous les produits finis (sans répétitions) d'un sous-ensemble infini. Le célèbre théorème de Hindman affirme que, pour toute coloration finie des entiers positifs, il existe un ensemble IP monochromatique. Au delà du cas abélien, Bergelson et Tao ont repris un travail de Gowers pour montrer qu'une sous-partie `large' dans un ultraproduit de groupes finis simples non-abéliens est IP.Dans un travail en commun avec D. Palacin (Freiburg), nous allons donner dans cet exposé une démonstration alternative du résultat précédent, avec des […]