Colloquium doctorant

Soit G′ ⊂ G une paire de groupes et (V, π) une représentation de G. Les problèmes de branchements consistent à étudier le comportement de la restriction π|G′ de π à G′. Dans le cas où V est un espace de Hilbert, π est unitaire et G, G′ sont localement compacts (par exemple des groupes de Lie), un théorème de Mautner implique que π|G′ se décompose (de manière unique si G′ est de type I) en intégrale directe de représentations irréductibles de G′. Lorsque π n’est pas unitaire (par exemple […]

La renormalisation est un concept flou, qui provient de la physique théorique et qui est aujourd'hui abondamment étudié en mathématiques. La renormalisation peut être déroutante: il peut par exemple s'agir de retirer des quantités infinies dans des équations pour qu'elles soient bien posées. N'étant pas un spécialiste de la question, je ne vous présenterai pas une approche générale mais plutôt trois exemples très élémentaires, qui je l'espère, vous rendront familier de ce concept et surtout le démystifieront. Le premier est déterministe, il s'agit de la distribution valeur principale. Le second […]

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Nous commencerons par introduire la notion de processus de Markov à sauts qui généralise les chaînes de Markov aux temps continus. Lorsque ces processus sont à valeurs vectorielles, ils peuvent être réécrits sous forme d'équation différentielle stochastique. Ensuite, le modèle logistique de Verlhust sera dérivé en tant que limite en grande population de ces modèles stochastiques. Dans le cas de populations évoluant sur un maillage discret, la méthode permet de dériver des EDP de réaction-diffusion en faisant tendre la taille de la maille vers zéro ainsi que le nombre d'individus […]

Dans cet exposé nous étudierons plusieurs questions autour du problème de la localisation des racines d’un polynôme dérivé par rapport aux racines de ce polynôme. Tout d’abord nous rappellerons quelques résultats déterministes classiques autour de ce problème. Puis nous étudierons ce problème sous un angle probabiliste en nous demandant où se situent les racines du polynôme dérivé lorsque les racines du polynôme initial ont été tirées de manière indépendante et identiquement distribuée dans le plan complexe. Pour finir, nous étudierons ce problème sous un angle d’analyse en expliquant comment ce […]

Le point de départ de cet exposé est d'expliquer comment classifier les surcorps non-commutatifs d'un corps K (par exemple, R a un surcorps non-commutatif donné par le corps des quaternions H, qui est de dimension 4 sur R). L'idée clé derrière cette classification est la notion de "descente galoisienne" : informellement, elle consiste à dire que les objets définis sur un corps K viennent d'objets définis sur la clôture algébrique de K qui sont munis d'une action d'un certain groupe qu'on appelle le groupe de Galois absolu de K. La […]

Lorsque l'on tient un pantalon droit, on observe qu'il possède un trou en haut et deux en bas. Le bord supérieur du pantalon est donc un cercle tandis que le bord inférieur est composé de deux cercles : les deux bords sont différents. En imposant que les deux bords soient simplement connexes on obtient une jupe (qui n'est rien d'autre qu'un cylindre). Tous les pantalons de dimension au moins 6 ayant 2 bords connexes sont en fait des jupes.Dans cet exposé j'introduirai plusieurs outils de la théorie de Morse (points […]