Je commencerai par rappeler un vieux problème, dit des boeufs et attribué à Archimède. Sa résolution, essentiellement équivalente à celle de l’équation de Pell-Fermat, conduit naturellement à la construction de certaines variétés (hyperboliques réelles) associées à des formes quadratiques. Après une brève introduction à la géométrie hyperbolique, j’expliquerai en quoi ces variétés ont une musique particulière en détaillant en particulier un problème ouvert important : la conjecture de Selberg.

Transport optimal, de l’économie à la physique à la géométrie

Soit K un corps. La correspondance de Langlands est une bijection entre deux types d’objets mathématiques : des représentations du groupe Gln(K) des matrices inversibles de dimension n à coefficients dans K et des représentations, dites galoisiennes, qui décrivent l’arithmétique du corps K. Dans cet exposé, nous présentons la version p-adique de cette correspondance, version qui n’existe que pour n=2 et K le corps des nombres p-adiques. De multiples stratégies sont développées pour traiter les autres cas. C’est l’objet du programme de Langlands p-adique.