Algèbre et géométrie

La théorie du groupe libre est stable, donc elle admet une ?Roebonne?R notion d'indépendance (comme l'indépendance algébrique dans un corps algébriquement clos). Cette notion est appelée déviation et on peut calculer sa complexité au sens de l'ampleur. La déviation est la plus simple dans une espace vectoriel et la plus complexe dans un corps algébriquement clos. Dans la théorie du groupe libre la déviation est la plus complexe, mais il a été conjecturé qu'aucun corps infini n'est définissable dans un groupe libre. Nous allons exposer une preuve de cette conjecture. […]

En théorie de la transcendance, on cherche à cerner les relations algébriques entre des nombres. Un problème plus simple consiste à se poser la même question sur les fonctions qui s'évaluent en ces nombres en espérant des théorèmes de transfert. D'après des résultats de Nishioka et Philippon, c'est le cas des fonctions de Mahler, qui satisfont des équations fonctionnelles discrètes en un opérateur de type Frobenius. En effet, les relations algébriques entre les valeurs de ces fonctions en des points algébriques se relèvent en des relations entre les fonctions elles-mêmes. […]

Bien que les espaces de Berkovich apparaissent souvent dans un contexte ultramétrique, leur définition la plus générale s'applique en réalité en prenant pour base un anneau de Banach arbitraire, par exemple Z muni de la valeur absolue usuelle. Dans ce dernier cas, les espaces obtenus se présentent naturellement comme des fibrations contenant à la fois des fibres complexes et p-adiques, pour tout nombre premier p. Nous rappellerons les propriétés connues de ces espaces puis esquisserons la démonstration du fait que la cohomologie cohérente des disques de dimension arbitraire sur Z […]