Algèbre et géométrie

Dans ce travail en collaboration avec J.F. Voloch, on discute si l'obstruction de Brauer-Manin est l'unique obstruction au principe de Hasse pour les points entiers d'une courbe affine hyperbolique C.Dans le cas où C est rationnelle, on conjecture une réponse positive et on montre que cette conjecture admet plusieurs formulations équivalentes et on la relie à une conjecture de Skolem. Dans le cas d'une courbe elliptique épointée, on montre qu'une variante plus forte (i.e. avec des congruences locales) de la question admet une réponse négative.

Les courbes de Reichardt-Lind et de Schinzel sont des exemples classiques de courbes projectives et lisses sur Q possédant un point adélique mais pas de point rationnel. Je montrerai que leur groupe fondamental arithmétique n'admet pas de section au-dessus du groupe de Galois absolu de Q. Cela répond à une question de Stix et confirme, dans le cas de la courbe de Schinzel, la prédiction fournie par la conjecture des sections de Grothendieck.