Algèbre et géométrie

Je décrirai quelques investigations récentes autour du théorème deDrinfeld-Grinberg-Kahzdan sur le voisinage formel d'un arc nonsingulier. C'est un travail en commun avec Julien Sebag.

The first order theory of a henselian valued field of residue characteristic zero is well-understood through the celebrated Ax-Kochen-Ershov principle, which states that it is completely determined by the theory of the residue field and the theory of the value group. For henselian valued fields of positive residue characteristic, no such general principle is known. I will report on joint work with Will Anscombe in which we study (parts of) the theory of equicharacteristic henselian valued fields and prove an Ax-Kochen-Ershov principle for existential (and slightly more general) sentences. I […]

The canonical base property (CBP) is a property of finite rank theories, which was introduced by Pillay and whose formulation was motivated by results of Campana in complex geometry. The main feature of such a property is that it provides a dichotomy for types of rank one, and in consequence one can reproduce Hrushovski's proof of Mordell-Lang for function fields in characteristic zero with considerable simplifications.In this talk, I will motivate (via Mordell-Lang) the statement of the CBP and describe some results around the CBP, in particular on definable groups.

La classe des théories NIP -- définie par Shelah dans les années 70 -- contient celles des théories stables et des théories o-minimales. On pense souvent à NIP comme étant une combinaison de stabilité et de o-minimalité. Dans cet exposé, je présenterai des résultats qui tendent à rendre cette intuition explicite. Je montrerai comment on peut décomposer certains types en une partie stable et un quotient ayant des propriétés typiques des ordres linéaires. Le résultat général pour tous les types est encore conjecturel.

Les diagonales de fractions rationnelles forment une classe de fonctions analytiques se situant au confluent de plusieurs grands thèmes : la combinatoire énumérative, la théorie des équations différentielles, l'arithmétique, la géométrie algébrique et l'informatique théorique. Lorsque leurs coefficients sont des nombres rationnels, ces séries ont la propriété remarquable d'être algébriques modulo presque tout nombre premier p. La façon dont leur degré d'algébricité varie en fonction de p est source de nombreuses questions. En particulier, des exemples de diagonales de fractions rationnelles ayant un `grand degré modulo p' peuvent être mis […]

Travail en commun avec Ehud Hrushovski et Ben Martin.Sous certaines hypothèses sur un groupe G, on peut montrer que le nombre de sous-groupes de G d'indice p^n (que l'on note a_n) est fini. Pour étudier la croissance des a_n, on s'intéresse à la série ?_{p,G}(s) = sum_n a_n t^n dont la rationalité a été démontrée par Grunewald, Segal et Smith (1988). Leur preuve consiste à réécrire cette somme comme une intégrale p-adique à paramètres et à utiliser un résultat de Denef (1984) sur la rationalité des telles intégrales. On peut […]