On sait que la théorie DCF_0 des corps différentiellement clos de caractéristique 0, élimine les quantificateurs dans le langage { + , - , · , 0 , 1 , D } des anneaux différentiels. Pierce et Pillay ont montré que tout ensemble définissable est une combinaison booléenne d'ensembles définis par des D-variétés. Une D-variété est une paire (V, s), où V est une variété algébrique, et s: V
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Originating in the theory of unitary group representations, the notion of spectral gap has played a huge role in many of the deep results in the theory of von Neumann algebras in the last couple of decades. Recently, with my collaborators, we are slowly understanding the model-theoretic significance of spectral gap, in particular its connection with definability. In this talk, I will discuss a few of our recent observations in this direction and speculate on some further possible developments. I will assume no knowledge of von Neumann algebras nor continuous […]
The Chabauty method often allows one to find the rational points on curves of genus at least 2 over the rationals, but has a lot of limitations. On a theoretical level, the Mordell-Weil rank of the Jacobian of the curve has to be strictly smaller than its genus. In practice, even when this condition is satisfied, the relevant Coleman integrals can usually only be computed for hyperelliptic curves. We will report on recent work of ours (with different combinations of collaborators) on extending the method to more general curves. In […]
Zilber conjectured that the complex field equipped with the exponential function is quasiminimal: every definable subset of the complex numbers is countable or co-countable. If true, it would mean that the geometry of solution sets of complex exponential-polynomial equations and their projections is somewhat like algebraic geometry. If false, it is likely that the real field is definable and there may be no reasonable geometric theory of these definable sets.I will report on some progress towards the conjecture, including a proof when the exponential function is replaced by the approximate […]
L'obstruction de Brauer-Manin explique (en partie) le défaut de densité des points rationnels d'une variété X dans le produit des points sur les différents complétés du corps de base. Conjecturalement, cette obstruction est la seule pour les variétés rationnellement connexes. Cela a pour conséquence l'existence d'un ensemble fini de mauvaises places en dehors desquelles on a en effet la densité souhaitée.Dans cet exposé, je montrerai comment décrire explicitement un tel ensemble de mauvaises places pour un espace homogène d'un groupe semisimple et simplement connexe à stabilisateurs finis. Cela passe par […]
Soient k un corps de caractéristique zéro et K le corps des fonctions d'une courbe X sur k. Soient T un K-tore, S un ensemble finide points fermés de X, et T(A,S) l'espace adélique de T hors de S. On démontre que l'ensemble des points rationnels T(K) estdiscret dans T(A,S), puis on calcule le quotient T(A,S)/T(K) en fonction de la cohomologie galoisienne de T dans les trois cassuivants : k algébriquement clos, k=C((t)), et k p-adique.
En 1986, Kato et Kuzumaki ont émis des conjectures concernant les liensentre la dimension cohomologique des corps, la K-théorie de Milnor etles hypersurfaces projectives de petit degré. Ces conjectures sontfausses en toute généralité, mais elles restent ouvertes pour les corpsqui apparaissent usuellement en arithmétique et en géométrie algébrique.Dans cet exposé, je présenterai plusieurs résultats en lien avec lesconjectures de Kato et Kuzumaki pour les corps globaux et pour certainscorps de fonctions.
Dans cette collaboration avec M. Florence, nous nous intéressons à la question de savoir quand les notions de rationalité et rationalité stable sont équivalentes. Nous traitons cette question dans le cas des tores, où une réponse positive est conjecturée par Voskresenskii. Pour une certaine classe de tores, cette conjecture est prouvée par Klyachko à l'aide de principes généraux. Nous donnons une nouvelle preuve explicite, en passant par des morphismes simples, menant à une application en cryptographie.
14.00-14.45 François Ledrappier (Paris VI), Differentiability of the linear drift in negative curvature15.00-15.45 Johannes Cuno (ENS), Random walks on Baumslag-Solitar groups15.45-16.15 pause café16.15-17.00 Ariel Yadin (Ben Gurion University), Intersectional IRS and Furstenberg entropy realization
Il s'agira d'un exposé de survol de la théorie des espaces de Berkovich, préparatoire à l'exposé suivant.
Le recollement a été introduit dans un cadre géométrique pour traiter le problème inverse de Galois. Par la suite, la technique a été adaptée à un contexte plus algébrique par Harbater et Hartmann, puis développée par Harbater, Hartmann et Krashen. Nous commencerons par présenter une version de cette méthode sur les courbes de Berkovich. Ensuite, nous l'utiliserons pour démontrer un résultat local-global sur les corps de fonctions de courbes de Berkovich et finirons en expliquant l'application aux formes quadratiques. Nos résultats généralisent ceux de Harbater, Hartmann et Krashen.
