Algèbre et géométrie

Nous allons parler de l'obstruction de Brauer-Manin pour les 0-cycles sur les variétés rationnellement connexes, particulièrement sur certaine fibrations au-dessus de l'espace projectif et certaine espaces homogènes.Références: http://arxiv.org/abs/1011.5995 et http://arxiv.org/abs/1107.1634

Given a number field k and a prime number p, we are interested in mixed Artin-Tate-motives M over k and in the ell-adic Galois representations attached to them. With these objects one can associate so-called Tate-Shafarevich groups. Their vanishing is, by construction, the obstruction to certain local-global principles. I will show how Leopoldt's conjecture for k and p follows from the finiteness of these groups.

Soit X une variété abélienne sur un corps algébriquement clos.Un fibré projectif sur X est dit homogène s'il est isomorphe à ses tirésen arrière par toutes les translations. On présente une classificationdes fibrés projectifs homogènes en termes de groupes algébriques

Soit X une variété abélienne sur un corps algébriquement clos.Un fibré projectif sur X est dit homogène s'il est isomorphe à ses tirésen arrière par toutes les translations. On présente une classificationdes fibrés projectifs homogènes en termes de groupes algébriques

Si X est une variété complexe projective lisse de dimension n, le groupe des classes de Hodge entières sur X de degré 2n-2 modulo le sous-groupe engendrépar les classes de 1-cycles de X est un invariant birationnel de X. Ce groupe est en général non trivial, comme montré par Kollár.Je discute dans cet exposé quelques résultats semblant indiquer quece groupe est trivial en généralpour les variétés rationnellement connexes. Tout d'abord, il est trivialpour les variétés uniréglées de dimension 3.En dimension quelconque, il est trivial pour les variétés rationnellement connexessi la […]

We will look at the arithmitic properties of cubic surfaces. The main focus will be on 27 the lines and the Galois action on them.Different descriptions of the moduli space of cubic surfaces are used to construct several Galois groups.Finally we will inspect the Manin conjecture for these surfaces.

The goal of this talk is to report on a project to compute the Picard rank for certain K3 surfaces. The methods are based on reduction modulo p. They will be explained in some detail and examples will be given.At the end of the talk, a statistical test will be presented showing that for each K3 surface in two large samples, suitable primes may be found and the Picard rank may be determined. The samples are motivated by classical families considered by 19th century geometers.

Il s'agit d'un travail en commun avec Olivier Wittenberg.

In this talk I will report on progress on the following two questions, the first posed by Cassels in 1961 and the second considered by Bashmakov in 1974. The first question is whether the elements of the Tate-Shafarevich group are infinitely divisible when considered as elements of the Weil-Châtelet group. The second question concerns the intersection of the Tate-Shafarevich group with the maximal divisible subgroup of the Weil-Chatelet group. This is joint work with Mirela Ciperiani.

La conjecture de torsion prédit que si k est un corps de nombre etA une variété abélienne sur k alors l'ordre du sous-groupe de torsion deA(k) est borné par une constante ne dépendant que du degré de k sur Q etde la dimension de A.Cette conjecture n'est connue que pour les courbes elliptiques: Manin l'amontré en 69 pour les l-Sylow de la torsion (l:premier) puis Mazur (77),Kamienny (92), Merel (96) ont réussi a compléter la preuve en analysant lastructure des courbes modulaires X_{0}(l) (l:premier).Que les courbes elliptiques soient (essentiellement) classifiées […]

In this talk we consider the problem of counting the number of rational points of bounded height on certain intersections of two quadrics in five variables.These are del Pezzo surfaces of degree four, and we focus on the case where the surface has a conic bundle structure.