Algèbre et géométrie

Les groupes de cohomologie non ramifiée, dont on sait qu'ils sont desinvariants birationnels des variétés projectives et lisses sur un corps,apparaissent comme les termes E_2^0p de la suite spectrale de Bloch-Ogus.Sur un corps de dimension cohomologique d, on va établir l'invariancebirationnelle de quelques autres termes de cette suite spectrale. Sur uncorps fini, on relie un de ces invariants avec le conoyau de l'applicationclasse de cycles l-adique étale pour les 1-cycles.

La théorie de Bruhat-Tits permet de classifier les groupes réductifs sur un corps valué hensélien et partant sur un corps F de séries formelles itérées sur un corps k. Si G/F est un groupe réductif, nous montrerons que le groupe de classes de R-équivalence G(F)/Rest isomorphe à un groupe H(k)/R où H est un groupe algébrique linéaire. Cette technique de spécialisation, issue des exemples de Platonov de groupes spéciaux linéaires, permet de construire de nouveaux cas de variétés de groupes non rationnelles.

Let X be a projective variety over a global field k. Consider the set of projective varieties X' that become isomorphic to X over every completion of k. It is natural to wonder if the set of such X', taken up to k-isomorphism, is finite. Mazur proved such a finiteness result conditional on the Tate--Shafarevich conjecture when k is a number field and the component group of the automorphism scheme of X satisfies some group-theoretic finiteness properties. When k is a global function field, several new difficulties arise. We explain […]

Harari and Voloch made a conjecture for the equality between the integral points and the integral Brauer-Manin set for hyperbolic curves inside P1. In this talk, we modify this conjecture and prove the modified version of this conjecture is true over rationals and imaginary quadratic fields. This is a joint work with Qing Liu.

A cohomological invariant of an algebraic group G defined over a field Fwith values in a Galois module C is a morphism of functorsH^1(-,G) --> H^d(-,C) from the category of field extensions of F tothe category of pointed sets. Cohomological invariants of algebraictori and their applications will be discussed. (This is joint workwith S. Blinstein, UCLA.)

Dans cet exposé nous présenterons quelques résultats concernant l'étude du motif de Chow des variétés de Severi-Brauer généralisées. En vertu d'un résultat de Chernousov et Merkurjev, le motif de ces variétés à coefficients dans un corps fini se décompose de manière essentiellement unique en une somme directe de motifs indécomposable. Nous établirons la classification complète de ces motifs en fonction des classes des algèbres centrales simples sous-jacentes dans le groupe de Brauer du corps de base. Cette classification est un exemple frappant d'application de la théorie des motifs supérieurs développée […]