Séminaire Raconte-moi

I will tell you about a conjecture by Griffiths and Harris from 1985 concerning the degree of curves on 3-dimensional hypersurfaces, and how this conjecture is related to the failure of the integral Hodge conjecture for these varieties. I will then explain how to prove some cases of their conjecture using a degeneration technique by Kollár, and how to generalize this result to higher dimensions. Finally, I want to end with some open questions.

Le groupe de Witt d'un anneau est un gadget algébrique permettant de contrôler les formes bilinéaires symétriques sur cet anneau. Notre but principal est de le définir et de donner un bref panorama (partial) de méthodes grâce auxquelles on peut partiellement le comprendre. Lorsque l'anneau considéré est l'algèbre des fonctions polynomiales sur une variété algébrique réelle affine, son groupe de Witt est intimement lié à la topologie de l'ensemble des solutions réelles des équations qui définissent cette variété : si le temps le permet, nous esquisserons ces liens.

L'une des opérations les plus importantes en mathématiques est la multiplication de matrices. En permettant aux indices de devenir continus, on obtient la convolution de fonctions. De manière analogue, on peut définir la convolution de fonctions sur les groupes de Lie. Les groupoïdes de Lie offrent une généralisation et unification de ces différentes notions de convolution. Je présenterai une introduction aux groupoïdes de Lie, suivie d'une discussion sur plusieurs de leurs applications à l'analyse des équations aux dérivées partielles.

Est-ce qu'un modèle d'IA peut démontrer un énoncé mathématique complexe ? Formaliser des preuves ? Une IA peut-elle développer une intuition mathématique plus puissante qu'un humain sur un problème spécifique et aider à la découverte de nouveaux théorèmes ? Les récentes avancées issues de la combinaison de différentes techniques de machine learning allant des modèles de langage aux méthodes d'apprentissage par renforcement posent de nombreuses questions sur l'avenir de la pratique des mathématiques. Pour explorer ces enjeux, nous présenterons plusieurs exemples de travaux récents en IA pour les mathématiques et […]

Dans les années 1980, Gross et Zagier ont établi une formule reliant les hauteurs de points CM sur les courbes modulaires aux dérivées de certaines fonctions L, ouvrant la voie à des applications spectaculaires à la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (BSD) pour les courbes elliptiques. J’exposerai d’abord la trichotomie des points rationnels sur les courbes algébriques, avant de présenter la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Je décrirai ensuite les quatre piliers qui sous-tendent la démonstration de Gross–Zagier–Kolyvagin de la conjecture BSD en rang analytique 1. Si le temps le permet, je […]

Le graphe fin des courbes est un objet associé à (presque) toute surface S, sur lequel le groupe des homéos de S agit fidèlement par isométries. C'est un outil tout neuf qui permet de dire de nouvelles choses de ce groupe des homéos de S. J'expliquerai en particulier comment l'action d'un homéo est déterminée par ses propriétés rotationnelles, en quoi ce fait est intéressant et les mots compliqués de ce résumé.

Dans cet exposé, je parlerai des trous noirs en m'appuyant sur deux exemples, présenterai le comportement générique des singularités de l'espace-temps conjecturé par Penrose dans ses conjectures de censure cosmique, et ferai une petite revue des résultats récents autour de ces conjectures.

La méthode du cercle, introduite par Hardy et Littlewood dans les années 20, est un outil majeur en théorie analytique des nombres. Constamment améliorée, elle a conduit à des résultats remarquables, en particulier sur des problèmes additifs concernant les nombres premiers. Dans cette direction, Vinogradov l'a développée en 1937 pour montrer que tout entier impair assez grand est somme de trois nombres premiers. Récemment, elle a connu de nouveaux raffinements, notamment grâce à des travaux de Bourgain et Maynard, conduisant à des résultats spectaculaires sur les chiffres des nombres premiers. […]

Après avoir précisé comment tirer au hasard une surface hyperbolique de genre g, je décrirai la géométrie d'une telle surface aléatoire. En particulier, on verra que, lorsque g tend vers l'infini, sa systole (la longueur de la plus courte géodésique fermée) est en moyenne d'environ 1,61498.

Les groupes de Neretin ont été définis par Yuri Neretin au début des années 90, à l’origine comme analogues p-adiques du groupe des difféomorphismes du cercle. Depuis la preuve de leur simplicité par Kapoudjian en 1999, ces groupes (localement compacts et totalement discontinus) suscitent un intérêt croissant: ils présentent de remarquables propriétés qui contrastent avec celles des groupes localement compacts simples connexes. Dans cet exposé, on s’intéressera notamment au fait qu’ils n’admettent aucun réseau, ainsi qu’aux propriétés remarquables de leurs représentations unitaires.

Les groupes de Golod-Shafarevich, découverts dans les années 60, ont trouvé des applications en théorie des nombres, théorie des groupes et topologie. Dans cet exposé j'introduirai ces groupes, et j'expliquerai le rôle qu'ils jouent dans l'étude des groupes fondamentaux des anneaux des entiers des corps de nombres et des variétés de dimension 3.

J’esquisserai comment des outils topologiques peuvent être utilisés dans la preuve de résultats arithmétiques en me concentrant sur les fonctions zêta en arithmétique et en topologie.En particulier, je donnerai une formule cohomologique pour les fonctions L symplectiques du côté arithmétique, dont la preuve repose de manière cruciale sur une formule similaire pour la torsion de Reidemeister des variétés de dimension 3 du côté topologique. Je donnerai également une perspective topologique sur l'ordre du groupe de Tate-Shafarevich.