Théorie des Modèles et Groupes

The class of NSOP_1 theories properly contains the simple theories and is contained in the class of theories without the tree property of the first kind. We will describe a notion of independence called Kim-independence, which corresponds to non-forking independence 'at a generic scale.' In an NSOP_1 theory, Kim-independence is symmetric and satisfies a version of Kim's lemma and the independence theorem. Moreover, these properties of Kim-independence individually characterize NSOP_1 theories. We will talk about what Kim-independence looks like in several concrete examples: parametrized equivalence relations, Frobenius fields, and vector […]

Un très beau théorème de Timmesfeld caractérise, sans hypothèse sur K, la représentation naturelle de G = SL(2,K) parmi les Z-modules : c'est le seul Z-module irréductible V où les sous-groupes unipotents de G agissent `quadratiquement', i.e. = 0 (en itérant les commutateurs).Montrer ce théorème, c'est essentiellement savoir reconstruire sur un Z-module quadratique une structure de K-espace vectoriel compatible avec l'action de G.L'exposé présentera une généralisation de ce théorème aux autres groupes de Chevalley simples : si G est un tel groupe, et V un Z-module sur lequel chaque sous-groupe […]

La notion d'isomorphisme local a été introduite pour l'étude des pavages apériodiques (pavages de penrose, quasicristaux...). On considère un espace euclidien de dimension finie. On identifie deux sous-ensembles si et seulement s'ils sont équivalents à translation près. On dit qu'un sous-ensemble E satisfait la propriété d'isomorphisme local si chaque partie bornée de E apparaît dans toute boule de rayon suffisamment grand. Deux sous-ensembles E,F sont localement isomorphes si toute partie bornée de l'un apparaît aussi dans l'autre.Deux pavages sont élémentairement équivalents si et seulement s'ils sont localement isomorphes. Les pavages […]

Le théorème de Hahn asserte que tout groupe abélien divisible ordonné (GADO) est (à isomorphie près) un sous groupe du produit de Hahn, et contient la somme de Hahn (le produit et la somme en question étant pris au-dessus du squelette de G). Le squelette de G étant un invariant valuatif, il est facile de voir que tout automorphisme de G induit un automorphisme de son squelette.Dans cet exposé, nous nous penchons sur la réciproque: peut-on caractériser les GADOs pour lesquels tout automorphisme du squelette se relève en un automorphisme […]

Etant donnée une théorie T modèle-complete de corps topologiques, on considère son expansion différentielle générique et sous une hypothèse de largeur sur le corps, on peut axiomatiser la classe des modèles existentiellement clos.On montrera un résultat de densité sur les types définissables sur des sous-ensembles définitionnellement clos dans les modèles de telles théories. Ensuite on montrera deux résultats de transfert l'un sur la VC-densité (lorsque T est NIP) et l'autre sur la propriété combinatoire NTP2.

Cet exposé est basé sur un travail de A.G. Myasnikov et M. Sohrabi. Les anneaux considérés ne sont pas supposés commutatifs, associatifs ou unitaires.Je donnerai des caractérisations algébriques de l'équivalence élémentaire pour les anneaux R avec (R,+) de type fini (i.e. finiment engendré). Les résultats sont analogues à ceux que j'avais précédemment obtenus pour les groupes nilpotents de type fini.

C'est un vieux théorème en dynamique topologique qu'à tout groupe topologique on peut associer un unique flot minimal universel (UMF) : un flot qui se projette sur tout flot minimal du groupe. Pour de certains groupes (par exemple les groupes localement compacts), ce flot n'est pas métrisable et n'admet pas de description concrète. Néanmoins pour plusieurs `gros' groupes polonais, l'UMF est métrisable, peut être calculé, et est lié à des phénomènes combinatoires intéressants. Dans cet exposé je vais décrire l'état de l'art et mentionner quelques résultats récents qui caractérisent les […]

On sait que la théorie DCF_0 des corps différentiellement clos de caractéristique 0, élimine les quantificateurs dans le langage { + , - , · , 0 , 1 , D } des anneaux différentiels. Pierce et Pillay ont montré que tout ensemble définissable est une combinaison booléenne d'ensembles définis par des D-variétés. Une D-variété est une paire (V, s), où V est une variété algébrique, et s: V

(Travail en commun avec E. Hrushovski)Le but de cet exposé sera de montrer qu'il n'y a que deux corps interprétables (à isomorphisme définissable près) dans ACVF. On commencera par rappeler des résultats de classification des groupes (abéliens) interprétables dans ACVF puis on appliquera ces résultats à l'étude des corps.

Les groupes de fardeau fini sont les groupes NTP_2 qui correspondent aux groupes stables ou simples de rang fini. Or, le fardeau est plus difficile à manipuler car il n'est pas forcément additif par fibration. Nous montrons que ces groupes sont virtuellement abélien-par-fini, et les anneaux sont virtuellement fini-par-nuls. Ceci améliore un résultat de Kaplan, Levi et Simon qui avaient démontré qu'un groupe dp-minimal est virtuellement nilpotent.Travail en commun avec Jan Dobrowolski

In pseudofinite structures, the non-standard size of definable sets often reveals important algebraic or model theoretic properties of the corresponding theories. In this talk, we will give two new examples of this correlation. One is between the coarse dimension and the transformal transcendental degree in certain class of pseudofinite difference fields. The other example is that in pseudofinite H-strucures which are built from one-dimensional asymptotic classes, the coarse dimension of a tuple corresponds to the coefficient of the leading term of SU-rank of this tuple. This is the first step […]

La théorie d'un corps algébriquement clos de caractéristique positive p muni d'un prédicat pour un sous-groupe additif admet une modèle-compagne ACF_pG. On se propose de décrire ce nouvel exemple de théorie NSOP_1, en décrivant les imaginaires, le Kim-forking et le forking. On parlera aussi de la généralisation de cette construction afin de présenter de nouveaux exemples de théories NSOP_1.