Pour une variété quasi-projective, lisse, géométriquement intègre sur un corps de nombre k, on montre que l'obstruction de descente itérée est équivalente à l'obstruction de descente. Ceci répond une question ouverte de Poonen. L'idée clé est la notion de sous-groupe de Brauer invariant et la notion d'obstruction de Brauer-Manin invariant étale pour une k-variété munie d'une action d'un groupe linéaire connexe.
La notion de groupe profini lisse permet d'axiomatiser les propriétés cohomologiques qui se déduisent du théorème de Hilbert 90 en cohomologie Galoisienne. L'objectif de cette introduction est de proposer une nouvelle approche effective à la conjecture de Bloch-Kato, démontrée par Rost, Suslin et Voevodsky. Un ingrédient clé est l'étude des puissances divisées de modules sur les vecteurs de Witt, munies des opérateurs Frobenius et Verschiebung. On présentera quelques résultats partiels et applications d'intérêt propres, notamment au relèvement des représentations Galoisiennes. Il s'agit d'un travail en cours avec Mathieu Florence.
Let C be a smooth projective curve defined over the finite field F_q (q is odd) and let K=F_q(C) be its function field. Any (non-empty) finite set S of closed points of C gives rise to an integral domain O_S := F_q in K. We show that given an O_S-regular quadratic space (V,q) of rank n ?oo 3, the set of genera in the proper classification of quadratic O_S-spaces isomorphic to (V,q) in the flat or étale topology, is in 1:1 correspondence with 2.Br(O_S), thus there are 2|S|-1 genera. Furthermore, […]
I will discuss the arithmetic of cubic surfaces and show how recent work on Mordell curves allows one to say something unconditional about the existence of rational points on a family of cubic surfaces.
Les conjectures de Manin et Peyre décrivent la répartition des points rationnels de hauteur bornée sur une variété de Fano en terme d'invariants géométriques de cette variété. S'inspirant de travaux récents de La Bretèche et de Blomer, Brüdern et Salberger, on s'intéressera au cours de cet exposé aux conjectures de Manin et de Peyre dans le cas des hypersurfaces singulières de P^{2n-1} définies sur Q par les équations suivantes : x_1 y_2 ?R y_n + x_2 y_2 y_3 ?R y_n + ?R + x_n y_1 y_2 ?R y_{n-1} = 0, […]
I will start the talk with the classical Cayley transform for the special orthogonal group SO(n) defined by Arthur Cayley in 1846. A connected linear algebraic group G over a field K is called a Cayley group if it admits a Cayley map, that is, a G-equivariant birational isomorphism between the group variety G and its Lie algebra Lie(G). For example, SO(n) is a Cayley group. A linear algebraic group G is called stably Cayley if G x (K*)^r is Cayley for some natural number r. I will consider semisimple […]
Let W be a finite dimensional algebraic structure over a field K of characteristic zero (for example an algebra or a graded algebra). In this talk I will explain how to construct a symmetric monoidal category CW which is (up to some categorical data) a complete invariant of W. This category will be a form of RepK-G, where G is the algebraic group of automorphisms of W, over some subfield K0 of K. The field K0 can be thought of as the field of invariants of W, in a way […]
Dans un travail en commun avec Yonatan Harpaz, nous démontrons que l'obstruction de Brauer-Manin contrôle l'existence de zéro-cycles de degré 1 pour les espaces homogènes de groupes linéaires sur les corps de nombres. La méthode employée redonne aussi une réponse positive au problème de Galois inverse, sur tout corps de nombres, dans le cas des groupes finis nilpotents. Le but de cet exposé sera d'expliquer la démonstration dans un certain détail.
We study the rationality problem for quadric bundles X over rational bases S. By a theorem of Lang, such bundles are rational if r > 2^n-2, where r denotes the fibre dimension and n = dim(S) denotes the dimension of the base. We show that this result is sharp. In fact, for any r at most 2^n-2, we show that many smooth r-fold quadric bundles over rational n-folds are not even stably rational. Our result is based on a generalization of the specialization method of Voisin and Colliot-Thélène-Pirutka.
Cet exposé est basé sur un travail commun avec Charles de Clercq et Maksim Zhykhovich. Une variété de drapeaux généralisée d'un groupe algébrique G est dite critique si c'est une variété test pour la classe d'équivalence motivique du groupe G. Dans cet exposé, nous montrerons que tout groupe algébrique classique possède une variété critique. Ce résultat généralise le cas des groupes orthogonaux des formes quadratiques, dû à des travaux antérieurs de Vishik et de Clercq.
Cet exposé est basé sur un travail commun avec Charles de Clercq et Maksim Zhykhovich. Une variété de drapeaux généralisée d'un groupe algébrique G est dite critique si c'est une variété test pour la classe d'équivalence motivique du groupe G. Dans cet exposé, nous montrerons que tout groupe algébrique classique possède une variété critique. Ce résultat généralise le cas des groupes orthogonaux des formes quadratiques, dû à des travaux antérieurs de Vishik et de Clercq.
In this talk I will discuss the use of Rost nilpotence and give an overview of known results in this direction, in particular of recent ones in dimension three.
