Probabilités et statistiques

Ce travail a été réalisé en collaboration avec Raphaël Cerf (DMA,ENS), Olivier Garet et Régine Marchand (IECL, Univ. Lorraine).Considérons le modèle de percolation de premier passage standard sur legraphe Z^d : aux arêtes e du graphe sont associées des variables (t(e))i.i.d. positives. La variable t(e) est appelée le temps de passage de e,c?RTMest le temps nécessaire pour traverser l?RTMarête e. Il en découle unepseudo-métrique aléatoire T sur le graphe : T(x,y) est le temps minimalnécessaire pour aller d?RTMun site x à un site y. Cette pseudo-métrique a étélargement étudiée. On […]

Je présenterai un travail avec Elliot Paquette (WeizmannInstitute) sur un processus de divisions successives d'intervalles avecdépendance entre les différentes intervalles, généralisant plusieursprocessus étudiés dans la littérature. Je montrerai que la mesure empiriquedes longueurs d'intervalles convenablement renormalisées converge vers uneloi déterministe caractérisée par une équation intégro-différentielle etj'étudierai les propriétés de cette loi pour quelques exemples. La preuvede la convergence repose sur une adaptation d'une méthode de convergenced'algorithmes stochastiques, dite la méthode de Kushner-Clark, dans uncadre infini-dimensionnel. Celle-ci pourrait également être utile dansd'autres situations.

Je présenterai le modèle de copolymère, utilisé pour décrire un polymère (composé dedifférents types de monomères) à l?RTMinterface entre deux solvants. Lorsque latempérature varie, on observe une transition de phase: à basse température, lepolymère reste proche de l?RTMinterface, alors qu?RTMà haute température, il fluctue dansun des deux solvants.On se concentrera sur la courbe critique, qui sépare les deux régimes, et enparticulier sa limite de faible couplage, dont on sait qu?RTMelle est universelle. Lavaleur de cette limite a cependant été l?RTMobjet de débats, avec des conjecturescontradictoires. Le résultat que je présenterai […]

We consider various mean field interacting particle systems, whose dynamics are subject to a sort of dissipation. We show that, in the infinite volume limit, even if neither the particles have intrinsic periodicity nor a periodic force is applied, appearence of limit cycles may occur.

(en collaboration avec Igor Kortchemski)Une partition de l?RTMensemble des entiers de 1 à n peut sereprésenter dans le disque unité du plan complexe : les entiers sontplacés sur les racines n-ièmes de l?RTMunité et chaque ensemble de lapartition est représenté dans le disque par le polygone convexe dont lessommets sont ses éléments. La partition est dite non croisée si cespolygones ne s?RTMintersectent pas. Dans ce cas, on s?RTMintéresse à l?RTMensemblefermé du disque formé par la réunion des arêtes des polygones. Jeprésenterai des théorèmes limites pour de tels ensembles lorsque n […]

La théorie conforme de Liouville a été introduite de manière non rigoureuse par Polyakov dans un papier fondamental de 1981. C'est une théorie quantique des champs (quantum field theory) en deux dimensions qui a une propriété supplémentaire d'invariance conforme, ce qui en fait une théorie conforme des champs. Je vais essayer de donner un aperçu de la construction rigoureuse de cette théorie donnée dans un papier tout aussi fondamental de David, Kupiainen, Rhodes et Vargas en 2015. Cette construction repose sur une version judicieusement choisie du champ libre Gaussien et […]

A classical theorem due to Kasteleyn says that the partition function of a planar dimer model equals to the Pfaffian of a properly signed adjacency matrix of the graph. In 2000, Kenyon proved that the fluctuations of the associated height function in special (so-called Temperleyan) discrete approximations to a given planar domain on refining square grids converge to the Gaussian Free Field. The starting point of Kenyon's argument is an interpretation of the Kasteleyn matrix as a discrete Cauchy-Riemann operator; one of the observations that brought discrete holomorphic functions to […]

Les fonctions de Schur sont une base orthonormale de polynômes symétriques en plusieurs variables, qui possèdent de nombreuses propriétés combinatoires remarquables. L'une de ces propriétés, la formule sommatoire de Cauchy, permet de définir de manière très naturelle des mesures de probabilités sur les partitions d'entiers. Le but de l'exposé est d'expliquer une conséquence probabiliste de ces propriétés combinatoires, et son importance dans l'étude des processus de croissance d'interfaces, les systèmes de particules, ou encore les permutations aléatoires (d'après Baik-Deift-Johansson 1999, Johansson 2000, Okounkov 2001). Nous verrons au passage des liens […]

L’effet du désordre sur les modèles de la mécanique statistique est souvent surprenant (et, en tout cas, peu compris). J’approcherai ce problème avec le point de vue du « critère de (A. B.) Harris » et le but serait d’arriver à présenter les idées de base et de donner un panorama de ce qu’on (ne) sait (pas) faire.