Séminaire informel de probabilités

Resume : Pour chaque entier $k geq 2$, on considère une suite d'arbres aléatoires construite récursivement : on part de l'arbre à une arête et deux noeuds (la racine et une feuille), puis on choisit à chaque étape une arête uniformément au hasard dans l'arbre pré-existant et on plante au milieu de l'arête sélectionnée $k-1$ nouvelles arêtes. Lorsque $k=2$, il s'agit de l'algorithme de Rémy, qui génère ainsi une suite d'arbres binaires, dont le $n$-ième terme est uniformément distribué dans l'ensemble des arbres binaires enracinés à $n$ feuilles numérotées. Il […]

On s'intéressera à un modèle proie-prédateur sur des graphes, où les sommets peuvent être de trois types : occupés par une proie ou un prédateur, ou bien vacants. Les proies se reproduisent à taux fixe et se propagent uniquement vers des sommets vacants voisins, alors que les prédateurs se reproduisent à un autre taux fixe et se propagent uniquement vers des sommets voisins occupés par une proie. On se demande alors ce qu'il se passe si on commence avec une proie et un prédateur : comment le système évolue-t-il ? […]

Consider the complete graph on n vertices with independent andidentically distributed edge-weights having some absolutely continuousdistribution. The minimum spanning tree (MST) is simply the spanningsubtree of smallest weight. It is straightforward to construct theMST using one of several natural algorithms. Kruskal's algorithmbuilds the tree edge by edge starting from the globally lowest-weightedge and then adding other edges one by one in increasing order ofweight, as long as they do not create any cycles. At each step of thisprocess, the algorithm has generated a forest, which becomes connectedon the final step. […]

Dans cet exposé je présenterai une nouvelle preuve de l'identité de Ray-Knight généralisée basée sur un argument de martingale. Cette martingale apparaît en lien avec le processus de saut renforcé par sites (VRJP) qui est un processus avec mémoire étroitement relié à la marche renforcée par arêtes (en collaboration avec P. Tarrès).

Considérons une marche aléatoire simple dans Z^d indexée par un arbrealéatoire choisi uniformément au hasard dans l'ensemble des arbres planairesde n sommets, et soit R(n) le nombre de points visités par cette marche.On montre que, si d>4, R(n)/n converge vers une constante strictementpositive, alors que si d=4, (log n)*R(n)/n converge vers (Pi^2)/2. Enpetites dimensions d

A limit order book is a financial trading mechanism that keeps track of orders made by traders, and allows to execute them in the future. In this talk I will present a simple model of a one-sided limit order book, which is modeled as a point process evolving over time.I will discuss two aspects of this model: the asymptotic behavior of the so-called price process (the extremal point) and the scaling limit of the entire measure-valued process. The proofs rely on a coupling with a branching random walk with a […]

On s'intéressera au spectre des matrices d'adjacence de graphes aléatoireset plus particulièrement à la masse totale de la partie continue de lamesure spectrale ou densité d'état. On verra notamment que la mesurespectrale de la percolation par arêtes sur Z^2 contient une partie continuenon triviale dans le régime surcritique. Le même résultat est vrai pour lamesure spectrale limite d'un graphe d'Erdös-Rényi surcritique et pour lamesure spectrale d'arbres aléatoires unimodulaires avec au moins deux finstopologiques. C'est un travail en collaboration avec Arnab Sen et BalintVirag disponible sur le lien http://arxiv.org/abs/1308.3755

En 1971, Eigen propose un modèle déterministe pour modéliser l?RTMévolution aucours du temps d?RTMune population in?nie de macromolécules avec mutation etsélection. Deux phénomènes importants apparaissent : le seuil d?RTMerreur et laquasi?Respèce. A?n d?RTMobtenir une version de ces résultats pour une population?nie, nous étudions un modèle de Moran avec mutation et sélection, et nousrécupérons, dans un certain régime asymptotique, les phénomènes de seuild?RTMerreur et quasi?Respèce. Nous trouvons de plus une formule explicite pourla distribution de la quasi?Respèce.L?RTMexposé sera introductif et non technique.

Nous présenterons l'algorithme génétique classique.En utilisant des idées provenant du modèle de quasi-espèce,nous proposons un contrôle des paramètres quidevrait améliorer l'efficacité de l'algorithme(enfin nous l'espérons).

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Ce travail a été réalisé en collaboration avec Raphaël Cerf (DMA,ENS), Olivier Garet et Régine Marchand (IECL, Univ. Lorraine).Considérons le modèle de percolation de premier passage standard sur legraphe Z^d : aux arêtes e du graphe sont associées des variables (t(e))i.i.d. positives. La variable t(e) est appelée le temps de passage de e,c?RTMest le temps nécessaire pour traverser l?RTMarête e. Il en découle unepseudo-métrique aléatoire T sur le graphe : T(x,y) est le temps minimalnécessaire pour aller d?RTMun site x à un site y. Cette pseudo-métrique a étélargement étudiée. On […]

Je présenterai un travail avec Elliot Paquette (WeizmannInstitute) sur un processus de divisions successives d'intervalles avecdépendance entre les différentes intervalles, généralisant plusieursprocessus étudiés dans la littérature. Je montrerai que la mesure empiriquedes longueurs d'intervalles convenablement renormalisées converge vers uneloi déterministe caractérisée par une équation intégro-différentielle etj'étudierai les propriétés de cette loi pour quelques exemples. La preuvede la convergence repose sur une adaptation d'une méthode de convergenced'algorithmes stochastiques, dite la méthode de Kushner-Clark, dans uncadre infini-dimensionnel. Celle-ci pourrait également être utile dansd'autres situations.