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Grégory Ginot, raconte-moi l’hypothèse du cobordisme !

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L'hypothèse du cobordisme est une conjecture qui depuis son introduction par Baez et Dolan, et sa formulation précise par Lurie, a fortement motivé le développement des catégories supérieures, mais aussi le développement d'invariants spécifiques à différentes structures géométriques. Elle fait un lien entre les (approches modernes aux) catégories supérieures, les invariants des variétés et (plus lointain) la physique mathématique. Essentiellement, c'est une sorte d'analogue pour les théories des champs topologiques (qui peuvent être vus comme une forme hautement structurée d'invariants des variétés) des axiomes d'unicité des théories homologiques classiques d'Eilenberg—Steenrod. […]

Alexis Metz-Donnadieu : Une introduction à la géométrie brownienne

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Considérons une marche aléatoire (S_n)_n sur R dont les incréments sont des variables indépendantes de loi mu centrée, de variance finie. Indépendamment du choix de mu, les trajectoires de S convergent systématiquement lorsqu’on les renormalise vers la même trajectoire aléatoire : le mouvement brownien (c’est l’objet du fameux théorème de Donsker). En ce sens, le mouvement brownien est donc une limite d’échelle universelle d’une très large classe de modèles discrets de trajectoires aléatoires. De manière remarquable, un phénomène analogue existe pour d’autres classes de modèles discrets. Par exemple, de nombreux arbres […]

Eleanor Archer : titre à préciser

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Les projections aléatoires constituent une technique de réduction de dimension simple et efficace en apprentissage automatique non supervisé. Elles reposent sur l'existence de quasi-immersions pour un ensemble de points d'un espace euclidien de haute dimension vers un espace de dimension inférieure. Nous proposerons une présentation du lemme de Johnson-Lindenstrauss centrée sur la notion de variable sous-gaussienne, puis nous discuterons de la meilleure manière de construire des projections simples, et en particulier creuses.

Nataniel Marquis, raconte-moi la correspondance de Langlands modulo p pour GL_2(Q_p) !

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La correspondance de Langlands vise à établir un lien entre représentations des groupes de Galois absolus de corps de nombres / de corps locaux et représentations de groupes algébriques sur lesdits corps. Nous nous intéresserons à l'une des branches de ce problème : pour le groupe de Galois de Q_p, avec des anneaux de coefficients de caractéristique (résiduelle) p. Les représentations de dimension 1 du groupe de Galois de Q_p sur F_p peuvent se classer grâce à la théorie de corps de classes local. Elles sont alors naturellement reliées aux […]

Géométrie aléatoire sur la sphère

ENS — amphi Galois 45 rue d'Ulm, Paris, France

Si l’on considère un (grand) graphe dessiné sur la sphère, on obtient un espace métrique en munissant l’ensemble des sommets de la distance de graphe, la distance entre deux sommets étant le nombre minimal d’arêtes sur un chemin les reliant. Si l’on choisit le graphe au hasard, et si on fait tendre sa taille vers l’infini, on montre que l’espace métrique associé converge, en un sens que l’on précisera, vers un espace métrique aléatoire appelé la sphère brownienne. On donnera quelques idées de la preuve de ce résultat.

Tony Salvi : Dynamique des systèmes quantiques à la limite semi-classique

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Dans cet exposé, je montrerai comment la mécanique quantique est bien approximée par la physique classique lorsque la constante de Planck est considérée comme étant très petite, c’est-à-dire à la limite semi-classique. En particulier, nous passerons en revue les concepts de base de la mécanique quantique ainsi que quelques résultats mathématiques standards sur les limites semi-classiques et j’en donnerai des interprétations.

Compacité et incompacité en théorie des ensembles

ENS — amphi Galois 45 rue d'Ulm, Paris, France

En mathématiques, la compacité est une propriété très forte : elle permet d'étudier un objet donné en examinant simplement des sous-objets de taille inférieure. On peut étudier de grands objets finis en examinant certains de leurs sous-ensembles plus petits, ou on peut essayer de comprendre un objet infini en examinant des morceaux finis. En poussant plus loin, on peut étudier des objets qui ne sont pas dénombrables à l'aide d'approximations dénombrables. Dans cet exposé, nous examinerons un exemple spécifique, les limites inverses supérieures, et comment, dans ce cas, un phénomène  […]

Aksel Bergfeldt : Analyse harmonique sur le groupe de Heisenberg

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The Heisenberg group is one of the most simple non-Abelian Lie groups. The Lie algebra components (vector fields) X, Y, Z satisfy = Z. We recognise this relation from quantum mechanics, where the position and momentum operators satisfy this relation, or from signal processing, where it is satisfied by the operations of translating in frequency and translating in time. I have studied the Schrödinger equation formulated on the Heisenberg group, with the help of non-Abelian harmonic analysis. I will give some insight about how this differs from its Euclidean counterpart, […]

Antoine Jégo : Invariance conforme et géométrie fractale aléatoire

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Les projections aléatoires constituent une technique de réduction de dimension simple et efficace en apprentissage automatique non supervisé. Elles reposent sur l'existence de quasi-immersions pour un ensemble de points d'un espace euclidien de haute dimension vers un espace de dimension inférieure. Nous proposerons une présentation du lemme de Johnson-Lindenstrauss centrée sur la notion de variable sous-gaussienne, puis nous discuterons de la meilleure manière de construire des projections simples, et en particulier creuses.

Nathalie Ayi

ENS - salle W 45 rue d'Ulm, Paris, France

Speaker: Nathalie Ayi (Sorbonne Université) Première partie: Limite en grande population de systèmes de particules non échangeables en interaction Les interactions sociales ont le pouvoir d'influencer les opinions des individus sur un large spectre de sujets. Une façon de modéliser cela est d’avoir recours à des modèles de systèmes de particules en interaction pour lesquels on observe l’émergence de comportements collectifs globaux, malgré l’absence d’une intelligence centralisée. Dans un contexte impliquant souvent de nombreux agents, une question naturelle est de chercher à décrire ces modèles lorsque le nombre d'agents N […]

Paul Wang, raconte-moi la trichotomie de Zilber pour les structures o-minimales !

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L'o-minimalité est une notion mise en évidence dans les années 80 (principalement par van den Dries, Pillay, et Steinhorn), qui représente un cadre possible pour la "géométrie (réelle) modérée". Il s'agit, afin d'exclure les comportements pathologiques de fonctions réelles, de restreindre l'étude à des classes simples de fonctions, via une condition de définissabilité. Il est intéressant de noter que cette notion est aujourd'hui utilisée dans des domaines aussi divers que la géométrie arithmétique, l'optimisation, ou l'étude de réseaux de neurones. La trichotomie de Zilber, dont la formulation modèle-théorique remonte également […]

Computer-assisted mathematics

ENS — amphi Galois 45 rue d'Ulm, Paris, France

Depuis plus d'un demi-siècle, les ordinateurs ont acquis le statut d'instruments de recherche incontournables dans de nombreuses branches de mathématiques fondamentales. Leur puissance de calcul est mise au service de l'experimentation, de la visualisation, de l'aide a la conjecture,... Mais aussi de la démonstration. Peut-on aller jusqu'à dire que les ordinateurs d'aujourd'hui font des mathématiques?