Le dixième problème de Hilbert (H10), énoncé en 1900, pose la question de l'existence d'un algorithme qui décide si un polynôme donné (à plusieurs variables sur Z) a une solution dans Z. Les travaux de Davis, Matiyasevich, Putnam, et Robinson aboutirent en 1970 à la conclusion qu'un tel algorithme ne peut pas exister --- une solution négative à H10. Depuis, un ensemble de travaux ont posé la question analogue dans de nombreux autres anneaux et corps, en cherchant des solutions dans un anneau R mais parfois aussi parfois en considérant […]

Dans cette exposé on va s’intéresser à comment mesurer la distance entre deux points sur la sphère dans R^3. Cela se fait à l’aide de métriques. On va donc étudier l’espace de toute les métriques avec l’espoir d’en trouver une plus spéciale que les autres.  Mais attention ! Cet espace est de dimension infinie…