La recherche

This note reviews a recent contribution about the Fisher information for the space-homogeneous Boltzmann equation by L. Silvestre, C. Villani and the author (arXiv, 2024 ). This classical functional from information theory is shown to be nonincreasing along the flow of the non-linear PDE for all physically relevant particle interactions. The proof consists in establishing a new functional inequality on the sphere of Log-Sobolev type. This new a priori estimate on solutions yields global-in-time well posedness of the equation, in particular in the case of very singular interactions, a left open question up to this work.

We study the geodesic convexity of various energy and entropy functionals restricted to (non-geodesically convex) submanifolds of Wasserstein spaces with their induced geometry. We prove a variety of convexity results by means of a simple general principle, which holds in the metric space setting, and which crucially requires no knowledge of the structure of geodesics in the submanifold: If the EVI gradient flow of a functional exists and leaves the submanifold invariant, then the restriction of the functional to the submanifold is geodesically convex. This leads to short new proofs of several known results, such as one of Carlen and Gangbo on strong convexity of entropy on sphere-like submanifolds, and several new results, such as the λ-convexity of entropy on the space of couplings of λ-log-concave marginals. Along the way, we develop sufficient conditions for existence of geodesics in Wasserstein submanifolds. Submanifold convexity results lead systematically to improvements of Talagrand and HWI inequalities which we speculate to be closely related to concentration of measure estimates for conditioned empirical measures, and we prove one rigorous result in this direction in the Carlen-Gangbo setting.

En continuation des travaux de Hrushovski sur les corps pseudo-finis avec un caractère additif, nous étudions la théorie des modèles des corps aux différences (en caractéristique 0) avec un caractère additif sur le corps fixe ajouté comme prédicat au sens de la logique continue. Leur théorie possède un modèle-compagnon, la théorie ACFA+. Elle admet l’élimination des quantificateurs aux quantificateurs algébriquement bornés prés. Nous montrons que ACFA+ est la théorie asymptotique en caractéristique 0 de la clôture algébrique des corps finis munis du Frobenius et d’un caractère additif sur le corps fixe. ACFA+ est simple, mais en général on n’a pas la 3-amalgamation sur des ensembles aclσ-clos. En suivant une direction de recherche suggérée par Hrushovski, nous donnons une caractérisation complète de ce phénomène. Cela nous permet de déterminer la composante connexe du groupe de Kim-Pillay en tant que groupe topologique. En particulier, nous pouvons en déduire, comme attendu par Hrushovski, que le groupe est abélien. De plus, nous obtenons une caractérisation des imaginaires (en logique continue) dans ACFA+. Nous étudions ensuite l’amalgamation en dimension supérieure. Contrairement aux théories ACFA et PF+, nous pouvons construire un contre-exemple à la 4-amalgamation sur un ensemble pour lequel on a la 3-amalgamation. Néanmoins, nous montrons qu’on a la n-amalgamation sur tous les modèles pour tout n ∈ N. Dans le dernier chapitre, nous généralisons les résultats de Hrushovski dans une direction différente. Motivés par des exemples naturels provenant de la théorie des nombres, nous introduisons la théorie PF+,× des corps pseudo-finis avec un caractère additif et un caractère multiplicatif (d’ordre infini). Nous montrons l’élimination des quantificateurs dans une extension naturelle du langage. Ensuite nous obtenons que PF+,× est la théorie asymptotique en caractéristique 0 des corps finis avec un caractère additif non-trivial et un caractère multiplicatif suffisamment générique. Ultérieurement nous montrons que l’intégration des prédicats définissables par rapport à la mesure de comptage de Chatzidakis-Macintyre-van den Dries est uniformément définissable en fonction des paramètres.